Funciones continuas definidas en compactos

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. Si K⊂E es compacto y f: K-->F es continua entonces f(K) es compacto.

Vamos a ver dos demostraciones para este teorema (la primera quizás es más elegante):

• 1. Utilizaremos que un conjunto es compacto si y solo si es sucesionalmente compacto.
• Sea (yn)⊂f(K) entonces existe (xn)⊂K tal que yn=f(xn). (xn)⊂K sucesionalmente compacto, luego existe (xnk) subsucesión de (xn) convergente a x∈K.
• Como f es continua, ynk=f(xnk) converge a f(x), luego (ynk) subsucesión de (yn) converge a f(x)∈f(K). f(K) es compacto.
• 2. Mediante la definición de compacidad. Sea {Vi} cubrimiento abierto de f(K). Como f es continua, existen {Ui} abiertos en (E,d) tales que f^-1(Vi)=K∩Ui.
• Veamos que ∪Ui cubre a K: Si x∈K, f(x)∈f(K), luego f(x)∈{Vi}, luego x∈K∩Ui. Luego todo x∈K queda cubierto por ∪Ui.
• Como K es compacto hay una cantidad finita de cubrimientos Ui tales que K⊂∪Uik. Y esto implica que f(K) queda cubierto por una cantidad finita de Vi. f(K) es compacto.

Corolario de este teorema: (Teorema de Weierstrass) Toda función real continua, definida en un subconjunto compacto de un e.m. alcanza su máximo y su mínimo absolutos.

Demostración:

• f(K) es compacto (en R) si y solo si es cerrado y acotado. Como es acotado existe i=ínf{f(x):x∈K} y s=sup{f(x):x∈K.
• Se tiene que para todo número natural existe (xn)⊂K tal que s-1/nDe aquí vemos que cuando n tiende a infinito, f(xn) tiende a s. Como f(K) es cerrado, toda sucesión convergente de f(K) tiene su límite en f(K), luego s∈f(K), es decir, existe x∈K tal que f(x)=s.

Corolario: Si f:K-->F es continua e inyectiva sobre un compacto K⊂E, entonces la aplicación inversa f^-1:Y=f(K)-->K es continua.

Demostración:

• Sea (yn): yn-->y∈f(K), ¿f^-1(yn)-->f^-1(y)?
• Sea xn∈K y x∈K: f(xn)=yn, f(x)=y. Sea z un punto de aglomeración en K de (xn). Existe (xnk)-->z, además, por continuidad, ynk=f(xnk)-->f(z)=y=f(x). Y como f es inyectiva, x=z (porque no puede haber dos puntos de K que tengan la misma imagen). x es el único punto de aglomeración, xn-->x.

Definición: Una aplicación f:(E,d)-->(F,ρ) se dice que es un homeomorfismo si es biyectiva y tanto f como f^-1 son funciones continuas.
Podemos decir, a partir de esto y del corolario anterior, que toda aplicación continua e inyectiva, definida en un compacto, es un homeomorfismo sobre su imagen.

Vamos ahora a ver que aportan estos resultados al asunto de las normas.

Teorema: Sobre un espacio vectorial de dimensión finita todas las normas son equivalentes y además dicho espacio es completo.

Prueba:

• Para empezar veremos que toda norma ||·|| en Rn es equivalente a la euclídea.
• Sea {e1, e2,..., en} la base canónica de Rn y β=sum||ei||>0 de i=1 hasta i=n. Sea x=(x1,x2,...xn)∈Rn.
• ||x||=||sum(xi·ei)||≤sum||xi·ei||=sum|xi|·||ei||≤sum||x||2·||ei||=β·||x||2. Luego ||x||≤β·||x||2.
• Esto implica que la función f:(Rn,||·||2)-->R definida por f(x)=||x|| es continua: Como |f(xn)-f(x)|=|||xn||-||x|||≤||xn-x||≤β||xn-x||2, si xn-->x en ||·||2 entonces f(xn)-->f(x). Y por tanto alcanza un mínimo absoluto sobre el conjunto compacto K={y∈Rn:||y||2=1}, es decir, existe a∈K tal que ||a||≤||y|| (f(a)≤f(y)) para todo y∈K. Llamando α=||a||, como el vector y=x/||x||2∈K (con x≠0), tenemos:
• α≤||y||=||x||/||x||2------------>α||x||2≤||x||.

Sea E un e. v. de dimensión n. Fijada una base {u1,u2,...un} de E podemos identificar E con Rn mediante el isomorfismo algebraico S:Rn-->E definido así: si x=(x1,x2,...xn)∈Rn entonces S(x1,...xn)=sum(xi·ui).

Si ||·|| y ||·||' son dos normas cualesquiera en E, definimos las siguientes normas: Dado x∈Rn: ||x||s:=||S(x)|| y ||x||'s:=||S(x)||'.
Estas normas son equivalentes en Rn, esto es, existen a,b>0 tales quepara todo x∈Rn a·||x||s≤||x||'s≤b·||x||s si y solo si a·||S(x)||'≤||S(x)||'≤b·||S(x)||'.

Sea y∈E, como S es suprpayectiva existe x∈Rn tal que y=S(x), entonces a·||y||s≤||y||'≤b·||y||.

La completitud en E con cualquiera de sus normas se deduce de la completitud en Rn usando la identificación dada por ||x||s:=||S(x)|| para todo x∈Rn.

The last definition: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. y f:M-->F una aplicación definida en M⊂E. Se dice que f es uniformemente continua cuando para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [x,y∈M, d(x,y)<δ] implica ρ(f(x),f(y))<ε.
Seguro que esta definición nos recuerda mucho a la de continuidad (y es lógico). ¿Dónde está la diferencia? Pues bien, en la continuidad hablamos de puntos concretos (describimos un comportamiento local de la función), en la continuidad uniforme hablamos de todos los puntos del dominio de f (comportamiento global de la función). Una función será uniformemente continua cuando podamos encontrar un δ>0 concreto con el que se cumpla lo dicho en la definición para cualquier pareja de puntos del dominio.

Hay que señalar que la continuidad uniforme implica continuidad, pero el recíproco no es cierto. Ejemplo:

• Escogemos la función f:(x)=x². Esta función es continua, pero no uniformemente continua, pues conforme nos alejamos del origen (0,0), la distancia entre las imágenes de los puntos aumenta mucho.

• 

• Vemos que si el dominio fuera un entorno perqueño del origen podríamos encontrar un δ pequeñín que nos sirviera para todos los puntos, pero a medida que nos alejamos del origen el valor de la función cambia bruscamente y las imágenes cada vez están más distantes.

Y para acabar:

Teorema: (Teorema de Heine): Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. y f:M-->F una aplicación continua definida en M⊂E. Si K⊂M es compacto entonces f es uniformemente continua sobre K.

Demostración:

• Dado ε>0 y x∈K elegimos δx>0 tal que si d(x,y)<δx, para y∈M, tengamos ρ(f(x),f(y))<ε/2. Los conjuntos B(x, δx/2) cubren K y son abiertos. Por tanto, existe un cubrimiento finito B(x1, δx1/2),...,B(xn, δxn/2) que cubre a K.
• Sea δ=mín{δx1/2,...,δxn/2}. Si y∈K y d(x,y)<δ, existe xi tal que d(x,xi)<δxi/2 (porque las bolas cubren K) y entonces: d(xi,y)≤d(xi,x)+d(x,y)<δxi/2+δ<δxi.
• Por lo tanto, ρ(f(x),f(y))≤ ρ(f(x),f(xi))+ ρ(f(xi),f(y))<ε/2+ε/2=ε.

Et voilà.

Límites y continuidad (3)

Antes de seguir conviene distinguir que dado A⊂M no es lo mismo decir que f es continua en cada a∈A que decir que f|_{A es continua}. La primera implica la segunda, pero el recíproco es falso. Veamos esto con un ejemplo:

• Sea A=Q (el conjunto de los números racionales)
• Sea f(x)=0 si x∈Q y f(x)=1 si x∈R\Q.
• Entonces tenemos que , como f|_A: A=Q-->R, f|_A=0 en todo su dominio. Esta función es constante, así que está claro que f|_A es continua.
• En cambio, f: R-->R no es continua en A, pues entre dos puntos racionales siempre hay un irracional y f iría dando saltos del 0 al 1.
  
• Vemos así que a la hora de describir el comportamiento de una función es de vital importancia que nos fijemos en el dominio.

Proposición: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y f: M-->F. Son equivalentes:

1. f es continua.
2. Para cada abierto V⊂F existe un abierto U⊂E tal que f ^-1(V)=M∩U, es decir, la antiimagen de un abierto en F es un abierto relativo en M.
3. La antiimagen de un cerrado en F es un cerrado relativo en M.
4. f(A|∩M)⊂f(A)| para cada A⊂M.

De momento sólo pongo una de las pruebas:

• 1 implica 2: Sea x∈ f^-1(V). Sea y=f(x). Como V es abierto puedo construir una bola B(y,ε)⊂V. Como f es continua, dado ε>0 existe un δ>0 tal que f(B(x,δ)∩M)⊂B(y,ε)⊂V.
• U=∪ _x∈_f-1(V) B(x,δx) (δx son los distintos δ). U∩M=f^-1(V).

Otra proposición: Si f,g: M⊂(E,d)-->(F,||·||) y alfa:M-->R y existen lím_x->a f(x), lím_x->a g(x) y lím_x->a alfa(x) entonces:

1. Existe lím_x->a (f(x)+g(x))=lím_x->a f(x)+lím_x->a g(x).
2. Existe lím_x->a (alfa(x)·g(x))=lím_x->a alfa(x)·lím_x->a g(x).
3. Si lím_x->a alfa(x)≠0, existe lím_x->a (alfa^-1(x)·g(x))=(lím_x->a alfa(x))^-1·lím_x->a g(x).
4. Si f:E-->R^m, f=(f1,f2...fm) donde f1: E-->R son las funciones coordenadas, entonces f es continua en a si y sólo si cada fi es continua en a.
5. Si la norma de F es la asociada al producto escalar <·,·>, entonces también existe el límite lím_x->aii),ig(x)>i=<lím_x->a f(x), lím_x->a g(x)>.

Demostración de 5: (tengo que revisarla, que hay algo que no me cuadra).

• Sea l=lím_x->a f(x) y k=lím_x->a g(x). Veamos que<ill,k>es el límite de i<if(xi),g(x)>iiicuando x-->a.
• |i<if(xi),g(x)>i-i<ill,k>i|=|if(x)i-li,g(x)-k>| ≤||f(x)-l||·||g(x)-k|| (esta última desigualdad es por la desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Regla de la cadena: Sean (Ej,d,), 1≤j≤3, tres e. m. y Mj⊂Ej para j=1,2. Sea f: M1-->M2 una aplicación con límite b∈M2 cuando x-->a∈M1'. Si g: M2-->E3 es continua en b entonces existe lím_x->a g(f(x))=g(b).
Si además a∈M1 y f es continua en a entonces gof (g compuesta con f) es continua en a.

Sigo en otra entrada.

Límites y continuidad (2)

Continuamos con el capítulo (aunque hoy será breve).

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y a∈M'. f: M-->F y b∈F. Entonces, lím_x->a f(x)=b si y solo si para cualquier sucesión (xn)⊂M, con xn distinto de a y lím _n->∞ xn=a se tiene que lím _n->∞ f(xn)=b.

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E. Una aplicación f: M-->F es continua en a∈M cuando para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [para todo x∈M, con d(x,ia)<iδ]ise tiene que ρi(f(x),f(a))i>ε.
En estas condiciones, si además a∈M', entonces f(a)=lím_x->a f(x). Diremos que f es continua cuando lo sea en todo su dominio.

Proposición: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E, a∈M y f: M-->F. Son equivalentes:

1. f es continua en a.
2. lím _n->∞f(xn)=f(a) para cada sucesión (xn) de M convergente a a.
3. Para cada A⊂M con a⊂A| se cumple f(a)∈f(A)|.

Algunas demostraciones:

• 2 implica 3. Sea A⊂M, a⊂A|. Entonces existe una sucesión (xn)⊂A tal que xn converge a a. Por hipótesis f(xn) converge a f(a) y esto implica que f(a)∈{f(xn) n∈N}
• 2 implica 1. Supongamos que f no es continua en a, es decir, existe un ε>0 para todo n∈N tal que existe una sucesión xn⊂B(a,1/n) de modo que f(xn)∉B(f(a)ε). Pero esto contradice nuestra hipótesis. ¡Absurdo!
• 3 implica 2. Sea (xn)⊂M, xn-->a entonces, por hipótesis, a∈{xn: n∈N}| implica que f(a)∈{f(xn): n∈N}|. Supongamos que f(xn) no converge a f(a). Entonces existe un ε>0 tal que para todo n∈N existe m>n tal que f(xm)∉B(f(a)ε).
• n=1. Existe n1>1 tal que f(xn1)∉B(f(a)ε).
• n=n1. Existe n2>n1 tal que f(xn2)∉B(f(a)ε)...
• Es decir, tenemos que xn converge a a y que f(xn) no está en la bola B(f(a),ε). Pero si aplico la hipótesis al nuevo conjunto tengo que a∈{xnk: k∈N}| pero f(a)∉{f(xnk): n∈N}|. ¡Contradcicción!

Además, es claro que si a es un punto aislado de M, toda aplicación f:M-->F es continua en a.

Y hasta aquí.

Límites y continuidad

Allá vamos con un nuevo capítulo: Aplicaciones entre espacios métricos.

Y qué menos que comenzar con una definición:

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y a∈M' (a es un punto de acumulación de M que puede pertenecer o no a M).

Definición (importantiña): Una aplicación f: M-->F tiene límite b∈F cuando x tiende hacia a si para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [para todo x∈M, con 0<id(x,ia)<iδ]ise tiene que ρi(f(x),b)i>ε. Esto se escribe así: lím f(x)=b (cuando x tiende a a).

También podemos expresar está definición en términos de topologías (ya que es lo que hemos estado estudiando): Para todo U entorno abierto de b existe V entorno reducido de a tal que f(V∩M)⊂U.

Vemos que en la definición de límite no interviene para nada el valor f(a) cuando a∈M.

Si a es un punto de acumulación de A⊂M y f|_A: A-->F tiene límite b_A, cuando x tiende a a, se dice que b_A es el límite de f(x) cuando x tiende a a a través del conjunto A.
Es claro que si existe el límite cuando x tiende a a en general, también existirá cuando x tiende a a a través de un conjunto determinado.

Y aunque parezca tonto, este concepto de límite a través de un conjunto es muy útil para decidir si un límite existe o no. Sólo hay que encontrar un conjunto A⊂M con a⊂A', a través del cual no exista el límite; o dos conjuntos A₁,A₂∈M con a⊂A'₁, a⊂A'_2, a través de los cuales existan y sean distintos los límites.
Por otro lado, para estudiar la existencia de un límite, hay que averiguar el candidato a límite, esto es, un punto b ∈F del que se pueda asegurar que si existe el límite vale b).

Definimos ahora el concepto de límites iterados, que consiste en el límite a través de rectas y el uso de coordenadas polares en el plano para el estudio de límites de funciones reales de dos variables.

Sea f: M⊂R²-->R, con (0,0)∈M' y para cierto (x0,y0)∈M los conjuntos A={(x0,y): 0≤ y≤ y0}∪{(x,0): 0≤ x≤ x0} y B={(x,y0): 0≤ x≤ x0}∪{(0,y): 0≤ y≤ y0} cumplen A⊂M y B⊂M. Se definen los límites iterados en (0,0) (cuando existen) como:

lím_y->0 (lím_x->0 f(x,y) ) = λ_1,2

lím_x->0 (lím_y->0 f(x,y) ) = λ_2,1

En las condiciones de la definición anterior, si los límites son distintos entonces no existe lím_(x,y)->(0,0) f(x,y).

Límites direccionales: Sea g: I⊂R-->R, con 0 un punto de acumulación de I y lím_x->0 g(x)=0. Definimos el límite de f: M⊂R²-->R a lo largo de g (cuando exista) como λ_g=lím_x->0 (x,g(x)).

Si encontramos dos funciones, g1 y g2, cumpliendo las condiciones de la definición anterior y tales que λ_g1, λ_g2 son distintos, entonces no existe el límite de f en (0,0). Es habitual tomar como función g rectas que pasan por el origen de coordenadas (y=x, y=x², x=y²,...).

Y por último, las polares: Sea f: R²-->R, l∈R. Consideremos la función que resulta de cambiar a coordenadas polares las variables en f, f*(θ,ρ)=f(ρcosθ,ρsenθ). Si |f*(θ,ρ)-l| ≤φ(ρ) con lím ρ_->0 φ(ρ) =0 , entonces lím_(x,y)->(0,0) f(x,y)=l .

A lo largo de esta semana iré poniendo más cosichuelas.

Conexión (2).

Teorema: Un e.m. E es conexo si y solo si los únicos subconjuntos de E que son a la vez abiertos y cerrados son ∅ y E. (falta demostración).

Sea ahora E un espacio normado. Si a, b∈E, el segmento que une a y b es el conjunto [a,b]={t·a+(1-t)·b : 0≤t≤1}.

Una poligonal que enlace a con b es la unión finita de segmentos [a,c1]∪[c1,c2]∪...∪[cn-1,b].

A partir de la conexión de los intervalos de R es fácil ver que una poligonal es un conjunto conexo. Un conjunto M⊂E se dice que es conexo por poligonales si cualesquiera de sus puntos pueden ser enlazados por una poligonal contenida en M. Puede comprobarse que todo conjunto conexo por poligonales es conexo, pero el recíproco es falso en general. Lo que sí que se puede demostrar es que en espacios normados todo conjunto abierto y conexo es conexo por poligonales.

Demostración:

• Sea S conjunto abierto y conexo en E y sea x∈S. Vamos a probar que x puede unirse con cualquier otro punto de S mediante una poligonal contenida en S.

• Sea A el subconjunto de S formado por los puntos que pueden unirse con x mediante una poligonal. Sea B=S\A. Entonces S=A∪B, con A y B disjuntos.

• Probaremos que A y B son abiertos en E. Sea a∈A y unamos a con x por medio de una poligonal. Como a∈S y S es abierto, existe B(a,r)⊂S para algún r>0. Si y∈B(a,r), [a,y]⊂B(a,r) y por tanto y puede unirse con x por medio de una poligonal (a la que une x y a le unimos el segmento [a,y]) lo cual implica que y∈A, es decir, B(a,r)⊂A, y por tanto A es abierto.

• Sea b∈B, y sea B(b,s)⊂S. Si un punto de B(b,s) puede unirse con x mediante una poligonal tendríamos que b también se podría unir con x, es decir, b pertenecería a A, pero como b no pertenece a A, tenemos que ningún punto de la bola se puede unir con x, es decir, B(b,s)⊂B. Luego B es abierto.

• Hemos obtenido una descomposición S=A∪B, de S formada por abiertos disjuntos. Pero A es no vacío ya que x∈A. Como S es conexo, B deberá ser vacío, con lo cual S=A.
  

• Pero es evidente que A es conexo por poligonales y que cualquier par de puntos de A pueden unirse por medio de una poligonal (uniendo ambos con x). Por consguiente S es conexo por poligonales.
  

Y sanseacabó.

Compacidad en espacios métricos (3) y conexión

Informo de que esta es la penúltima entrada del capítulo.

Ya vimos que en un e.m. los conjuntos compactos son cerrados y acotados, pero el recíproco no es cierto en general. El teorema siguiente establece que en Rn con la norma euclídea el recíproco sí que se cumple.

Teorema de Heine-Borel-Lebesgue: Un subconjunto K de Rn es compacto para la topología usual si y sólo si es cerrado y acotado.

Prueba:

• Sólo queda realizar la segunda aplicación, así que allá vamos.
• Si K es acotado, existe r>0 tal que K⊂B(0,r)⊂B(0,r)∞=[-R.R]x...x[-R,R]. Probaremos que [-R,R]ⁿ es compacto, y como K es cerrado y ⊂[-R,R]ⁿ será por tanto, compacto. Haremos la prueba para n=2 y usaremos que un conjunto es compacto si y solo si es sucesionalmente compacto. (a¹ y a² denotan cada una de las coordenadas de la sucesión).
  

• Sea (Xm)∞=(Xm¹,Xm²)∞∈[-R,R]x[-R,R]. Como (Xm¹)∞⊂[-R,R]x[-R,R], es compacto. Existe entonces (Xmj¹)∞ subsucesión de (Xm¹)∞ convergente hacia un punto x¹∈[-R,R].

• La sucesión (Xmj²)∞⊂[-R,R]. Existe una subsucesión (Xmjk²)∞ convergente a un punto x²∈[-R,R].

• Como (Xmj¹)∞ converge hacia x¹, puedo coger los términos que yo quiera de esta susubsucesión y construirme otra subsucesión que también va a converger a x¹. Para que en [-R,R]x[-R,R] una sucesión converja, tienen que converger cada una de las coordenadas por separado pero con los mismo índices. Es por eso que voy a elegir unos términos determinados de (Xmj¹)∞. Me voy a quedar con la subsucesión (Xmjk¹)∞ (que converge a x¹).

• Entonces tenemos que la subsucesión (Xmjk)∞=(Xmjk¹,Xmjk²) converge a (x¹,x²) y es subsucesión de (Xm)∞.
  

• [-R,R] es sucesionalmente compacto (cada sucesión de [-R,R] tiene una subsucesión convergente a un punto de [-R,R]), y por tanto, es compacto.
  

Pasamos a la conexión:

Un conjunto M de un e.m. E se dice que es conexo cuando para toda partición no trivial de él: M=S∪T, S∩T=∅, S≠∅, T≠∅, se tiene S∩T|≠∅ o S|∩T≠∅. Es decir, el conjunto es conexo si no está "roto", como explicaré en la nota.

En particular, si M=E obtenemos la noción de e.m. conexo.

Hay que tener en cuenta que en esta definición no interviene la métrica del espacio sino su topología.

Nota: Otra forma de ver la conexión es que un conjunto conexo M⊂E no se puede escribir como la unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos. Si fueran S,T abiertos en E con M=S∪T, S∩T=∅, S≠∅, T≠∅, por ser M conexo podemos suponer que S∩T|≠∅. Sea x∈S∩T|. Como S es abierto, existe ε>0 tal que B(x,ε)⊂S y como además x∈T|, B(x,ε)∩T≠∅ lo cual implica que S∩T≠∅, y esto es una contradicción.

El primer ejemplo de conjuntos conexos lo encontramos en R: Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.
Recordemos que un intervalo queda definido de la siguiente forma: (a,b)={x∈R: a<sxd<ibi}.

Los espacios Rn son conexos. En e.m. arbitrarios se demuestra que la unión arbitraria de conjuntos conexos tales que cada dos de ellos tienen intersección no vacía, es un conjunto conexo. Además, la clausura de un conjunto conexo vuelve a ser un conjunto conexo.

Mañana o después veremos una caracterización importante de los e.m. conexos.

Compacidad en espacios métricos (2).

Teorema de Bolzano Weierstrass: Sea (E,d) un e.m. y K⊂E un subconjunto, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. K es compacto.
2. K es sucesionalmente compacto.

Demostración:

• 1 implica 2. Sea Xn⊂K, supongamos que no tiene ninguna subsucesión convergente. En particular, esto implica que la sucesión tiene infinitos puntos distintos yk, que podemos tomar como subsucesión de Xn.

• Además, para todo k∈N existe un entorno abierto Uk que contiene a yk tal que yj∉Uk si j≠k. Probemos esto: Si no fuera así habría de existir un k tal que cualquier entorno abierto de yk contiene a un yj. Tenemos, en particular, que para cualquier m∈N existe un jm∈N con yjm∈B(yk,1/m). Podemos extraer una subsucesión (yjm)∞ de (yn)∞ cumpliendo que d(yk,yjm)<1/m,styipara cualquier imi∈N, lo que implica que la sucesión yjm converge a yk, contrario a la hipótesis por ser yjm subsucesión de Xn.

• El conjunto {y1, y2...yn...} no tiene ningún punto de acumulación (ya que podemos hacer bolitas de centro y1, y2... que sólo contienen a y1, y2... Recordemos que M|=M∪M'. Como no hay ningún punto de acumulación, M|=M, y esto implica que M es cerrado. Luego {y1, y2...yn...} es cerrado. Además, como está en K, que es compacto, {y1, y2...yn...} también es compacto. La familia {Uk}∞ es un recubrimiento abierto de {y1, y2...yn...} que no admite un cubrimiento finito debido a que {y1, y2...yn...} es infinito y a que demostramos que para todo k∈N existe un entorno abierto Uk que contiene a yk tal que yj∉Uk si j≠k. Esto es una contradicción, pues {y1, y2...yn...} es compacto. Por tanto Xn tiene una subsucesión convergente y como K es cerrado, el límite está en K.

• 2 implica 1. Sea {Ui} un cubrimiento abierto de K. Existe r>0 tal que para todo y∈K, B(y,r)⊂Ui para algún I. Si no fuese así para todo n existiría yn∈K de manera que B(yn,1/n) no está contenida en ningún Ui. Pero por hipótesis la sucesión yn ha de tener una subsucesión (zn) convergente a z∈K. Como {Ui} recubre a K, z∈Ui0 para algún i0. Como Ui0 es abierto existe ε>0 tal que B(z,ε)⊂Ui0. Podemos tomar N lo suficientemente grande para que d(zN,z)<ε/2 y 1/N<ε/2. Entonces B(zN,1/N)⊂Ui0. Contradicción.

• Para cualquier ε>0 existe {y1, y2...yn}⊂K tal que K⊂∪B(yk,ε). Supongamos que existe ε tal que K no se pueda cubrir con un número finito de bolas abiertas de radio ε. Elegimos y1∈K arbitrario y tomamos y2∈K\B(y1,ε)≠∅. Por hipótesis podemos repetir el proceso y así elegir yn∈K\[B(y1,ε)∪...∪B(yn-1,ε)]. La sucesión así formada cumple que d(yj,yk)≥ε para j≠k y por tanto no admite subsucesiones convergentes, lo cual contradice el hecho de que K es sucesionalmente compacto.

• Para terminar, sea r>0 y sean {y1...yn} para ε=r. Así K⊂∪k B(yk,ε) (desde k=1 hasta k=n) y como B(yk,ε)⊂Uik para algún ik tenemos que K⊂Ui1∪...Uin, que es el cubrimiento finito que buscamos.

Ála, ya llevo análisis al día.

Compacidad en espacios métricos.

Hoy, si voy a buen ritmo, termino con análisis. Y ya vuelvo a con él el martes.

Vamos a comenzar fuerte con una de las formulaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass: Sea K⊂(E,d) un conjunto compacto. Entonces

1. K es cerrado.
2. K es acotado.
3. Si F⊂K es cerrado, F es compacto.

Pruebas varias:

• 1. Consideramos G=E\K. Probaremos que G es abierto. Sea x∈G y los conjuntos abiertos Un={y∈E : d(x,y)>1/n para todo n}=B^c(x,1/n). Es decir, en Un están todos los puntos y que están fuera de la bola B(x,1/n). Vemos que a mayor n, esta bola es más pequeña, luego Un es cada vez más grande.

• Como todos los y∈K son distintos de x, tenemos que d(x,y)>0, habrá por tanto algún n tal que y∈Un. Así, K⊂∪Un (desde n=1 hasta infinito). Como K es compacto se puede extraer un cubrimiento finito, así que K⊂Un1∪Un2∪...Unk.
• Sea ahora N el máximo de los n1, n2...nk. U=B^c(x,1/N) es el mayor de los Un, luego es claro que K⊂U. Pero entonces, como G es el complementario de K, y B(x,1/N) el complementario de U, tenemos que B(x,1/N)⊂G. Esto quiere decir que para todo x puedo encontrar una bola con centro x que esté contenida en G, esto es, G es abierto (K es cerrado).
  

• 2. Sea x0∈K, la familia {B(x0,n) con n∈N} es un cubrimiento abierto de K. Como K es compacto ha de tener un cubrimiento finito, K⊂∪B(x0,nj) (desde k=1 hasta j=k). Sea M el máximo de los n1,n2...nn, entonces K⊂B(x0,M), luego diam(K)≤2M, esto es, K está acotado.

• 3. Sea {Ui} un cubrimiento abierto de F. Consideramos G=E\F, que es abierto (por ser F cerrado). Entonces [{Ui,G} cubre a K. Por ser K compacto podemos extraer un cubrimiento finito de K, que será de la forma {Ui1,Ui2...Uin,G}. Luego{Ui1,Ui2...Uin} cubre a F. F es compacto.

Definición: Un subconjunto A⊂(E,d) de un e.m. decimos que es sucesionalmente compacto si de toda sucesión de A podemos extraer una subsucesión convergente a un punto de A.

Proposición: Sea K⊂(E,d) un conjunto sucesionalmente compacto. Entonces:

1. K es cerrado.
2. K es acotado.
3. Si F⊂K es cerrado, F es compacto.

Además, K es sucesionalmente compacto si y solo si todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulación en K (es decir, un punto x tal que B(x,r)∩K=infinito). (me falta escribir esta demostración).

Otras tantas pruebiñas:

• 1. Veamos que K es cerrado. Si no lo fuese, K^c sería cerrado por lo que existiría algún x∈K^c tal que B(x,ε) no está contenido en K^c para cualquier ε>0. Es decir, que hay puntos en el intervalo (x-ε, x+ε) que están en K. Si tomamos ε=1/n, para cada n existirá yn∈K con d(yn,x)<1/n, o lo que es igual, yn⊂(x-1/n,x+1/n). De la sucesión de puntos (yn) podemos encontrar una subsucesión (ynk) convergente a un punto y de K (hipótesis). Pero resulta que la sucesión (yn) converge a x, pues cuanto mayor es n, menor es la distancia entre los términos de la sucesión y x. Como (ynk) es subsucesión de yn, también converge a x. Como el límite de una sucesión (en este caso subsucesión) es único llegamos a que x=y. Luego x está en K, que es una contradicción. Concluimos que K entonces tiene que ser cerrado.

• 2. Si no fuese acotado, para cualquier n existiría Xn∈K con |Xn|>n. Por hipótesis podemos encontrar una subsucesión Xnk convergente a un punto de K, y por ser convergente, es acotada, por lo que entramos en una contradicción. K es por tanto acotado.

• 3. Probaremos que F está acotado. Si no lo fuese, para cualquier n existiría Xn∈F con |Xn|>n. Consideramos Xn⊂F. Como Xn también está contenida en K, sabemos que existe una subsucesión Xnk⊂K que converge a x∈K. Pero como (Xnk)⊂(Xn), Xnk⊂F, y como F es cerrado, Xnk converge a un punto de F (que coincide con x, pues el límite es único). Contradicción, porque si es convergente, es acotada. Luego F es acotado, y por ser también cerrado, es compacto.

Mañana (o en un rato) añado lo último que me falta, otro teorema de los señores Bolzano y Weierstrass, que es bastante largo y su correspondiente demostración.

Completitud en espacios métricos.

Ayer prometía una bonita proposición, así que aquí la traigo:

Todo subconjunto completo M⊆(E,d) es cerrado, y si (E,d) es completo, todo subconjunto cerrado de E es completo.

A por la demostración:

• Sea M⊆(E,d) completo. Sea Xn⊆M una sucesión convergente a x∈E. Tenemos que probar x está en M (recordemos que un conjunto es cerrado si y solo si el límite de toda sucesión convergente del conjunto está en dicho conjunto). Como Xn es convergente en E, es por tanto, de Cauchy (tanto en E como en M, pues la distancia entre los términos no varía de E a M). Por ser M completo, Xn tiene que converger a y∈M. Como el límite es único--->x=y∈M. M es cerrado.

• Probaremos la segunda parte de la proposición: Suponemos E completo y M⊆(E,d) cerrado. Sea Xn⊆M una sucesión de Cauchy en M. Si la "miramos" en E también será de Cauchy, luego está claro que por ser E completo, Xn convergerá a x∈E. Ahora bien, M es cerrado, así que el límite de Xn tiene que quedarse en M, por tanto M es completo (toda sucesión de Cauchy es convergente).

Las nociones de sucesión de Cauchy y espacio métrico completo no son topológicas. ¿Qué quiere decir esto? Que puede haber dos distancias equivalentes sobre el mismo conjunto E que no den lugar a las mismas sucesiones de Cauchy, de forma que E sea completo para una distancia y no lo sea para la otra. En espacios normados esto no ocurre (gracias a la proposición importantilla de ayer. Recordemos que el hecho de que dos distancias sean equivalentes no implica que se cumpla la desigualdad a||x||≤||x||'≤b||x||).

Teorema: Si ||·|| es una de las tres normas usuales de Rn (que estuvimos manejando ayer), entonces (Rn,||·||) es completo.

Prueba:

• Vamos a probar, por ejemplo, que (Rn, ||·||∞) es completo.
• Sea xk sucesión de Cauchy en (Rn, ||·||∞). Dado ε>0 existe k0∈N tal que si k,m>k0 ||xk-xm||≤ε. Tomamos ahora xk=(xk¹,xk²...) con i=1,2...n. Tenemos entonces lo siguiente: |xkⁱ-xmⁱ|≤||xk-xm||∞≤ε (esto se debe a que ||xk-xm||∞=máx{|xkⁱ-xmⁱ|, i=1...n.}) para todo k,m>k0.
• Esto significa que la sucesión xnⁱ es de Cauchy. Como R es completo, las sucesiones de las coordenadas son convergentes, esto es, para cada i existe xⁱ=lim(xkⁱ) y por tanto xk converge hacia (x¹,x²...) con i=1,2...n.

Definición: El diámetro de un subconjunto A de un e.m. (E,d), por defición es el supremo.
diam(A)=sup{d(x,y);x,y∈A}≤+∞.
Un subconjunto M de E se dice que es acotado si diam(A)<∞.

#Si A es acotado, dado x0∈A existe r>0 : A⊆B(x0,r).

Prueba:

• diam(A)=K<∞. x0∈A, r=K. A⊆B(x0,r).
• A⊆B(x0,r). diam(B(x0,r))≤2r. Sean x,y∈A; d(x,y)≤d(x0,x)+d(y,x0)≤r+r=2r. Luego A está acotado.

No es cierto en general que dos métricas equivalentes definan los mismos conjuntos acotadas, pero esto sí ocurre en un espacio normado (debido a la proposición bendita que antes ya hemos mencionado).

Teorema de Cantor: Sea (E,d) un e.m. completo. Toda sucesión decreciente de conjuntos cerrados no vacíos, Cn⊆E que cumpla lim(diam(Cn))=0 tiene intersección no vacía.

Demostración:

• Para cada n elegimos xn∈Cn. Probemos primero que la sucesión es de Cauchy. Dado ε>0, como lim(diam(Cn))=0 existe n0 tal que diam(Cn)<ε para todo n>n0. Si n,m>n0 tenemos que xn∈Cn⊆Cn0 y xm∈Cm⊆Cn0, y llegamos a que d(xn,xm)≤diam(Cn)≤ε.
• Como (E,d) es completo, xn es convergente hacia un punto de E. Cada Cn es cerrado y xk∈Cn para todo k>n, luego x∈Cn, esto es, la intersección de los Cn es no vacía, pues está x.

Después sigo.

Topología en espacios métricos (4).

Let's go on.

x es un punto de aglomeración de la sucesión Xn si y sólo si para cada ε>0 el conjunto {n∈N: Xn∈B(x,ε)} es infinito, esto es, si en la bola hay infinitos términos.

Demostración:

• Si x es un punto de aglomeración de Xn, existe una subsucesión de Xn que converge hacia x. Dado ε>0 existe k0∈N tal que si k>k0, entonces Xnk∈B(x,ε). Luego dentro de la bola se quedan infinitos términos.
• A por el recíproco. Sea ε=1, el conjunto{n∈N: Xn∈B(x,1)}≠∅, podemos elegir por tanto n1∈N: x1∈B(x,1). Tomemos ahora ε=1/2, el conjunto {n∈N: Xn∈B(x,1/2)} es infinito, así que podemos coger un n2>n1 tal que x2∈B(x,1/2). Respitiendo este proceso voy consiguiendo una sucesión creciente de números naturales n1, n2, n3...nk... tal que una subsucesión Xnk∈B(x,1/k).

Dos métricas, d y d', definidas sobre un mismo conjunto E se dice que son equivalentes si definen la misma topología sobre E.
Dos normas, ||·|| y ||·||', sobre un mismo espacio vectorial se dice que son equivalentes cuando las distancias asociadas lo son.

Dos métricas sobre un conjunto son equivalentes si y solo si tienen las mismas sucesiones convergentes y convergen al mismo límite. Es decir, Xn d-converge a x∈E si y solo si Xn d'-converge a x.

Prueba:

• Partimos de que d y d' son métricas equivalentes (tienen por tanto los mismos conjuntos abiertos). Sea Xn d-convergente a x∈E. Sea U d'-abierto, x∈U. U es también d-abierto, así que existe un n0 a partir del cual Xn∈U. Por tanto Xn d'-converge tambiém a x.
• Suponemos F⊆E d-cerrado. Sea Xn⊆F, Xn d'-converge a x∈E, y por hipótesis Xn d-converge a x∈F (porque F es cerrado). Luego F es también d'-cerrado. d y d' son equivalentes.

La distancia asociada a la norma d(x,y)=||x-y|| es invariante por translaciones: d(x,y)=d(a+x,a+y). La distancia también se comporta bien con las homotecias respecto al origen: d(ax,by)=ab·d(x,y). Y otra propiedad que diferencia a las normas de las métricas generales es la que da el siguiente resultado:

Proposición importantilla:Sea E un e.v. sobre K y ||·||, ||·||' dos normas sobre E. Una condición necesaria y suficiente para que las dors normas seas equivalentes es que existan dos constantes a,b>0 tal que a||x||≤||x||'≤b||x|| para todo x∈E.

Probémoslo:

• Veremos primero la condición necesaria. Supongamos que las dos normas son equivalentes. Como las topologías de ambas normas tienen los mismos abiertos, la bola abierta B(0,1) respecto de ||·|| ha de ser un conjunto abierto respecto de ||·||'. En particular, como el 0 está contenido en la bola B(0,1) respecto de ||·||, existe r>0 tal que B(0,r)(||·||')⊆B(0,1)(||·||).

• Sea a∈R con a

• Veamos la condición suficiente, esto es, que si se cumple a||x||≤||x||', todo abierto para ||·|| es abierto para ||·||'.
  

• Sea r>0 y x∈B(c,a·r)(||·||'), es decir, ||x-c||'

• Consideramos C abierto para ||·|| y c∈C. Eciste r>0 tal que B(c,r)(||·||)⊆C. Pero esntonces también se cumple que B(c,a·r)(||·||')⊆C. Luego llegamos a que C es ||·||'-abierto.

En el caso de espacios métricos en general, si d y d' son métricas de E, si existen a,b>0 con a·d(x,y)≤d'(x,y)≤b·d(x,y) entonces d y d' son equivalentes. Sin embargo, el hecho de que sean equivalentes no implica que existan a y b que cumplan la desigualdad. Veamos un ejemplo de que no se cumple:

Consideramos la métrica del valor absoluto y la métrica acotada, p. La métrica del valor absoluto es equivalente a p pero no existe a>0 tal que a·d(x,y)≤p(x,y) para todo x e y.

Las normas ||·||1 y ||·||∞ aunque no proceden de un producto escalar (al contrario que ||·||2), también definen la topología usual de Rn. Basta aplicar la proposición anterior teniendo en cuenta las desigualdades:

1. ||x||∞≤||x||2≤sqrt(n)||x||∞
   
2. 1/sqrt(n) ·||x||1≤||x||2≤sqrt(n)||x||1

Pruebas:

• Recordamos que ||x||∞=max{|xi| con i=1,2...}. |xi|=sqrt(xi²)≤sqrt(x1²+...+...xi²+...xn²)=||x||2.
• ||x||2=sqrt(x1²+...+...xi²+...xn²)≤sqrt(||x||∞²+...+...||x||∞²+...||x||∞²)=sqrt(n)||x||∞.
• Para demostrar 1/sqrt(n) ·||x||1≤||x||2 utilizamos la desigualdad de Cauchy Schwarz. Sea x∈Rn, tomamos a∈Rn tal que ai·xi=|xi| (luego a=+1,-1). ||xi||1=sum|xi|=sum(ai·xi)=≤||a||2·||x||2=sqrt(n)·||x||2.
• ||x||2=sqrt(x1²+...+xn²)≤sum(xi)=||x||1.

Corolario: En (Rn, ||·||2), limXn=x si y solo si la convergencia es coordenada a coordenada.

Demostración:

• Supongasmo que (xn,yn)------>(x,y). Entonces d∞((x,y),(xn,yn))=max{|xn-x|,|yn-y|} y esto tiene que tender a 0. La única forma es que tanto |xn-x| como |yn-y| tiendan a 0.

Para acabar introduciré algunos nuevos relacionados con la completitud.

Recordaré que la noción de completitud, esto es, que toda sucesión de números reales que sea de Cauchy es convergente, equivale al Principio de encaje de Cantor y éste al axioma del supremo (todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene un supremo). Sobre (San) Cantor hablaremos más adelante.

Sea (E,d) un e.m. Una sucesión Xn en E se dice que es de Cauchy si dado ε>0 existe un número natural n0 tal que si k,n>n0 entonces d(xnk,xn)≤ε.

#En un espacio métrico toda sucesión de Cauchy es acotada y toda sucesión convergente es de Cauchy, pero el recíproco generalmente es falso.

Un e.m. se dice que es completo si y solo si toda sucesión de Cauchy en E es convergente. Cuando un espacio normado es completo se le denomina espacio de Banach.

Sea M un subconjunto del e.m. (E,d), la restricción MxM de la distancia d es una distancia en M que denotaremos dM. Si el espacio (M,dM) es completo diremos que M es un subconjunto completo de E.

Creo que hoy me puse bien las pilas. Mañana seguimos con una bonita proposición.

Topología en espacios métricos (3).

Tras este tiempo sin repasar nada de análisis, volvemos por donde lo dejamos.

Proposición(I): Un punto x es adherente a M⊂E si y solo si es límite de alguna sucesión contenida en M.

Demostrémoslo:

• Si x∈M| para todo n B(x,1/n)∩M ≠ ∅. Podemos elegir para cada n, Xn∈B(x,1/n)∩M y entonces d(x,Xn)<1/n.iPor tanto Xn converge a x.i
  
• Probemos el recíproco. Sea Xn∈M cuyo límite es x. Sea U abierto con x∈U, por definición de límite, existe n0 tal que si n>n0, Xn∈U, y esto implica que U∩M≠∅, es decir, x es un punto adherente a M.

Proposición(II): Un punto x es un punto de acumulación de M⊂E si y solo si es límite de alguna sucesión contenida en M\{x}. Quitamos el x porque si x está en la sucesión y además es el límite, la sucesión sólo puede ser una sucesión constante en la que todos los términos son el x. Pero entonces no se cumpliría el recíproco que diría que si x es límite de alguna sucesión contenida en M, x es un punto de acumulación.

• Si x∈M' para todo n B(x,1/n)∩M=∞. Podemos elegir para cada n, Xn∈B(x,1/n)∩M (lo elegimos con x∉Xn, y podemos hacer esto porque la intersección está formada por un número infinito de elementos) y entonces d(x,Xn)<1/n.iPor tanto Xn converge a x.i

• Sea Xn∈M\{x} cuyo límite es x. Sea U abierto con x∈U, por definición de límite, existe n0 tal que si n>n0, Xn∈U. Como la sucesión no puede ser constante (es decir, que todos los términos sean x) tenemos que Xn obligatoriamente está formada por infinitos números distintos, luego U∩M=∞. x es por tanto un punto de acumulación de M.

Un conjunto F⊂(E,d) es cerrado si y solo si toda sucesión Xn⊂F convergente tiene su límite en F.

Prueba:

• Suponemos que F es cerrado y sea Xn una sucesión de F convergente hacia x. Si x∉F, x∈E\F, y como este conjunto es abierto existe r>0 tal que B(x,r)⊂E\F. Como el límite es x, existe n0 tal que si n>n0 Xn∈B(x,r), y esto nos lleva a que Xn∉F. ¡Absurdo! x está en F.
• Sea x∈E\F=:G. Si G fuese cerrado, podríamos elegir una sucesión Xn∈B(x,1/n) de forma que la sucesión no estuviese contenida en G. Xn entonces pertenecería a F y además ||x-Xn||<1/n,tyes decir, Xn tiende a x.j.y por hipótesis x∈Fy. Luego G es abierto.
  

Definición: Sea Xn una sucesión en E. Si n1<in2o... es una sucesión infinita creciente de números naturales, a Xnk le llamaremos subsucesión de Xn.
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La última proposición de hoy: Si la sucesión Xn de E converge hacia x, cada subsucesión de Xn también.
Prueba:

Dado ε>0 existe n0∈N tal que si n>n0, d(Xn,x)<ε. Consideramos ahora Xnk subsucesión de Xn. Sea k0∈N tal que n0k>n0, entonces si k>k0 tenemos que d(Xnk,x)<ε.

Para acabar diremos que x∈E es un punto de aglomeración de la sucesión Xn si x es límite de alguna subsucesión de Xn.

Mañana y pasado a ver si sigo con esto y lo consigo poner al día, que se me está acumulando la tarea.

Topología en espacios métricos (2).

Hoy seguimos el tema que dejamos ayer. Comenzamos con el concepto de frontera.

La frontera de M, ∂M, es el conjunto formado por los puntos adherentes a M que no son interiores a M (los bordes del intervalo, vamos). El exterior de M es el interior de su complementario, que coincide con el complementario de M|. Por ejemplo, si consideramos el conjunto M=[0,1]∈R. M⁰=(0,1); M|=[0,1]; ∂M=[0,1]\(0,1)={0,1};
extM=(-∞,0)∪(1,+∞).

Definición: Sea M⊂(E,d). Si para cada r>0 el conjunto B(x,r)∩M tiene infinitos elementos se dice que x es un punto de acumulación de M y se escribe x∈M'.

Ejemplo: A={1/n: n∈N}, los puntos de A son 1,1/2,1/3... y tienden a 0. Los puntos de A no son puntos de acumulación, puesto que puedo encontrar un r tal que B(x,r)∩A={x}, es decir, bolas que únicamente contengan a un elemento de A (y eso es contrario a la definición de punto de acumulación. El único punto de acumulación es el 0, ya que a partir de un término se cumple que |1/n -0|<ε, y esto sólo se da cuando el número de términos es infinito. Es claro que M'⊂M|, pues si x es un punto de acumulación, evidentemente estará en el cierre de M, pues M| contiene a todos los x tal que B(x,r)∩M es distinto del vacío, no sólo a los que hagan que la intersección tenga un número infinito de elementos.

Veamos que M| \M'⊂M: Sea x∈M| \M'; x∉M. Existe r>0: B(x,r)∩M={x1,x2...xn} con x distinto de x1,x2...xn. Además puedo encontrar un ε>0: B(x,ε)∩{x1,x2...xn}=∅ (ya que x1,x2...xn es una cantidad finita de elementos). y como x no está en M, B(x,ε)∩M=∅ Llegamos entonces a que x∉M|. Contradicción. Luego M| \M'⊂M.

A los puntos de M| \M' se les denomina puntos aislados. x es un punto aislado de M si hay algún r>0 tal que B(x,r)∩M={x}. Se verifica que M|=M⁰∪∂M=M∪M', donde la primera unión es disjunta.

Proposición: Si M⊂(E,d), M es cerrado si y solo si M'⊂M.

Demostración:

• Primero veamos que si M es cerrado, M'⊂M. Sabemos que M|=M∪M', y como M es cerrado, M|=M, luego M∪M'=M, es decir, al añadir M' no estoy añadiendo nuevos puntos a M, luego M'⊂M.
• Probemos el recíproco. Como M'⊂M, M^c⊂(M')^c. M|∩M^c⊆M|∩M^'c=(M∪M')∩M^'c⊆M (esto se debe a que M|=M∪M'). Pero entonces M|∩M^c=∅. Pues los puntos de M^c no están en M. Y como M|∩M^c=∅, y esto quiere decir que no hay ningún punto de M| que esté en M^c, luego los puntos de M| estarán en M, esto es, M|=M.

La última definición de hoy: Una sucesión Xn en un e.m. (E,d) es convergente hacia x∈E y se escribe limXn=x, si para cada subconjunto abierto U en E conteniendo a x, existe n0 tal que Xk∈U para todo k≥n0. Es decir, como x∈U abierto, existe ε>0: B(x,ε)⊆U.
En este caso dicho punto x, necesariamente único, se dice que es el límite de la sucesión.

Esta definición es equivalente a la siguiente: Para todo ε>0 existe n0 tal que si k≥n0 Xk∈B(x,ε).

Demostremos la doble implicación:

• Está claro que si se da la primera definición se da la segunda, pues ya dijimos ayer que toda bola abierta es un conjunto abierto (la bola abierta es un caso particular de conjunto abierto). Probemos entonces que la segunda implica la primera.
• Como U es abierto hay una bola B(x,ε)⊂U, y por la definición, a partir de un momento todos los términos estás en la bola, y en particular, dentro de U.

Para espacios normados, si Xn es una sucesión de (E,||·||), Xn converge a x si y solo si la sucesión de números reales ||Xn-x||-->0 cuando n-->∞.

El asunto sigue mañana.