Durmiendo con Integrales

Aplicaciones Lipschitzianas. Conexión, continuidad y convergencia de aplicaciones.

2009-11-07T10:21:00.006+01:00

Las funciones lipschitzianas son un ejemplo de funciones uniformemente continuas.

Definición: Decimos que f:M⊂(E,d)-->(F, ρ) es lipschitziana con constante de lipschitz c>0 si para cada par de puntos x, y de M se cumple ρ(f(x),f(y))≤c·d(x,y).
Toda aplicación lipschitziana es uniformemente continua (dado ε>0, basta con tomar δ=ε/c).

Ejemplos.

Si f:(a,b)-->R es derivable con derivada acotada, es decir, existe M>0 tal que |f '(x)|≤M para x,y∈(a,b) tenemos |f(x)-f(y)|=|f '(e)|·|x-y|≤M|x-y|.
Las aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados; si T⊂K(E,F), T es lipschitziana con constante de lipschitz precisamente ||T||.

Una aplicación f:(E,d)-->(E,d) se dice que es contractiva si es lipschitziana con constante de lipschitz 0<1. style="font-weight: bold;">Teorema del punto fijo de Banach: Supongamos que (E,d) es un e.m. completo y que f:E-->E es contractiva. Entonces f tiene un único punto fijo, es decir, existe x∈E tal que f(x)=x.

(No pongo la demostración porque es bastante farragosa de escribir a ordenador).

Conexión y continuidad:

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e.m., M⊂E un conjunto conexo y f:M--->F una aplicación continua. Entonces f(M) es un subconjunto conexo de F.

Corolario: R2 no puede ser homeomorfo a R (recordemos que tendríamos un homeomorfismo si f:R2-->R fuese biyectiva y tanto f como su inversa fuesen continuas).

Prueba:
Si existiera un homeomorfismo f:R2-->R, la imagen del conjunto R2\{0}, que es conexo, tendría que ser conexa. Pero f(R2\{0})=R\{f(0)} no es conexo.

Otro corolario: Si f:M⊂(E,d)-->R es continua y M es conexo, entonces f(M) tiene la propiedad de los valores intermedios, esto es, si a,b∈M y e es un número real entre f(a) y f(b), entonces existe c∈M tal que f(c)=e.

Convergencia de aplicaciones.

Sea T un conjunto no vacío y (F, ρ) un espacio métrico. Una sucesión de funciones fn:T-->F converge puntualmente cuando para cada t perteneciente a T la sucesión (fn(t)) converge en (F,ρ). En este caso el límite puntual de la sucesión es la aplicación f:T-->F definida por f(t):=lim fn(t) cuando n tiende a infinito.
La definición de convergencia puntual equivale a la condición: Para cada t perteneciente a T y cada ε>0 existe un número natural n(ε,t) tal que si n>n(ε,t) entonces ρ(fn(t),f(t))<ε.

Definimos una convergencia más fuerte: Sea T un conjunto no vacío y (F, ρ) un espacio métrico. Una sucesión de funciones fn:T-->F converge uniformemente hacia f:T-->F si para todo ε>0 existe n(ε) tal que si n>n(ε) entonces ρ(fn(t),f(t))<ε para todo t perteneciente a T.

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e.m., y sea fn:T-->F una sucesión de funciones continuas convergente uniformemente a f:[a,b]--->R. Entonces f es integrable y tenemos que el límite de la integral de fn(x) entre a y b es igual que la integral entre a y b de f(x).

(No pongo la demostración por lo mismo de antes).

Y ya.

Aplicaciones lineales

2009-11-05T16:05:00.004+01:00

Vamos ahora a estudiar las aplicaciones lineales en espacios normados.

Sean E y F dos e.v. Una aplicación T:E-->F se dice que es lineal si T(a·x+b·y)=a·T(x)+b·T(y). (Siendo a y b números reales y x,y∈E.

Proposición: Sean (E,||·||) y (F, ||·||') e. normados y T:E-->F una aplicación lineal, son equivalentes:

T es continua.
T es continua en 0.
Existe c>0 tal que ||T(x)||'≤c·||x|| para todo x∈E.

Si E es de dimensión finita, toda aplicación lineal T:E-->F es continua.
Pruebas:

3 implica 1: ||T(y)-T(x)||'=||T(y-x)||' (por la linealidad).
||T(y-x)||'≤c·||y-x||. Dado ε>0 podemos encontrar δ>0 tal que si ||y-x||<δ ||T(y)-T(x)||'<ε. Basta con elegir δ=ε/c. ||T(y-x)||'ε/c=ε.
1 implica 2 está claro, pues si T es continua, en particular es continua en 0.
2 implica 3. Tomando ε=1, existe δ>0 tal que si ||y||<δ entonces ||T(y)||'=||T(y)-T(0)||'<1.
La constante c=2/δ cumple la desigualdad del punto 3. Esto es evidente si x=0. Supongamos x distinto de 0. Consideramos y=x/(c·||x||), y tenemos que ||y||=1/c=δ/2<δ, entonces 1<||T(y)||=||T(x)||'/(c·||x||)--->||T(x)||'≤c·||x||.
Ahora, si el espacio E es de dimensión finita, dimE=n, fijamos una base {u1,...un} de E y definimos la aplicación S: Rn--->E mediante S(x1,...xn)=sum(xi·ui).
Para cada x∈E, x=sum(xi·ui), definimos la norma en E ||x||*=sum|xi|=||S^-1:(x)||1, que es equivalente a la inicial ||·|| (por ser de dimensión finita).
La constante C=máx{||T(uk)||':1≤k≤n} verifica ||T(x)||'=||sum(xi·T(ui))||'=sum(|xi|·||T(ui)||'≤C||x||*. Como se cumple 3, T es continua para la norma ||·||* y por tanto también para ||·||.

Si (E,||·||) y (F, ||·||') son e. normados, el conjunto de aplicaciones lineales continuas T:E-->F, denotado por K(E,F), también es un e.v.

Corolario: Para cada T∈K(E,F), el número ||T||=sup{||T(x)||':||x||≤1} es finito y define una norma sobre K(E,F).
||T(x)||'≤||T||·||x|| para cada x∈E y ||T|| es la mejor constante (la mínima) que cumple la condición 3 de la proposición anterior.

Mañana o al otro más y mejor.

Funciones continuas definidas en compactos

2009-10-30T20:23:00.006+01:00

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. Si K⊂E es compacto y f: K-->F es continua entonces f(K) es compacto.

Vamos a ver dos demostraciones para este teorema (la primera quizás es más elegante):

1. Utilizaremos que un conjunto es compacto si y solo si es sucesionalmente compacto.
Sea (yn)⊂f(K) entonces existe (xn)⊂K tal que yn=f(xn). (xn)⊂K sucesionalmente compacto, luego existe (xnk) subsucesión de (xn) convergente a x∈K.
Como f es continua, ynk=f(xnk) converge a f(x), luego (ynk) subsucesión de (yn) converge a f(x)∈f(K). f(K) es compacto.
2. Mediante la definición de compacidad. Sea {Vi} cubrimiento abierto de f(K). Como f es continua, existen {Ui} abiertos en (E,d) tales que f^-1(Vi)=K∩Ui.
Veamos que ∪Ui cubre a K: Si x∈K, f(x)∈f(K), luego f(x)∈{Vi}, luego x∈K∩Ui. Luego todo x∈K queda cubierto por ∪Ui.
Como K es compacto hay una cantidad finita de cubrimientos Ui tales que K⊂∪Uik. Y esto implica que f(K) queda cubierto por una cantidad finita de Vi. f(K) es compacto.

Corolario de este teorema: (Teorema de Weierstrass) Toda función real continua, definida en un subconjunto compacto de un e.m. alcanza su máximo y su mínimo absolutos.

Demostración:

f(K) es compacto (en R) si y solo si es cerrado y acotado. Como es acotado existe i=ínf{f(x):x∈K} y s=sup{f(x):x∈K.
Se tiene que para todo número natural existe (xn)⊂K tal que s-1/nDe aquí vemos que cuando n tiende a infinito, f(xn) tiende a s. Como f(K) es cerrado, toda sucesión convergente de f(K) tiene su límite en f(K), luego s∈f(K), es decir, existe x∈K tal que f(x)=s.

Corolario: Si f:K-->F es continua e inyectiva sobre un compacto K⊂E, entonces la aplicación inversa f^-1:Y=f(K)-->K es continua.

Demostración:

Sea (yn): yn-->y∈f(K), ¿f^-1(yn)-->f^-1(y)?
Sea xn∈K y x∈K: f(xn)=yn, f(x)=y. Sea z un punto de aglomeración en K de (xn). Existe (xnk)-->z, además, por continuidad, ynk=f(xnk)-->f(z)=y=f(x). Y como f es inyectiva, x=z (porque no puede haber dos puntos de K que tengan la misma imagen). x es el único punto de aglomeración, xn-->x.

Definición: Una aplicación f:(E,d)-->(F,ρ) se dice que es un homeomorfismo si es biyectiva y tanto f como f^-1 son funciones continuas.
Podemos decir, a partir de esto y del corolario anterior, que toda aplicación continua e inyectiva, definida en un compacto, es un homeomorfismo sobre su imagen.

Vamos ahora a ver que aportan estos resultados al asunto de las normas.

Teorema: Sobre un espacio vectorial de dimensión finita todas las normas son equivalentes y además dicho espacio es completo.

Prueba:

Para empezar veremos que toda norma ||·|| en Rn es equivalente a la euclídea.
Sea {e1, e2,..., en} la base canónica de Rn y β=sum||ei||>0 de i=1 hasta i=n. Sea x=(x1,x2,...xn)∈Rn.
||x||=||sum(xi·ei)||≤sum||xi·ei||=sum|xi|·||ei||≤sum||x||2·||ei||=β·||x||2. Luego ||x||≤β·||x||2.
Esto implica que la función f:(Rn,||·||2)-->R definida por f(x)=||x|| es continua: Como |f(xn)-f(x)|=|||xn||-||x|||≤||xn-x||≤β||xn-x||2, si xn-->x en ||·||2 entonces f(xn)-->f(x). Y por tanto alcanza un mínimo absoluto sobre el conjunto compacto K={y∈Rn:||y||2=1}, es decir, existe a∈K tal que ||a||≤||y|| (f(a)≤f(y)) para todo y∈K. Llamando α=||a||, como el vector y=x/||x||2∈K (con x≠0), tenemos:
α≤||y||=||x||/||x||2------------>α||x||2≤||x||.

Sea E un e. v. de dimensión n. Fijada una base {u1,u2,...un} de E podemos identificar E con Rn mediante el isomorfismo algebraico S:Rn-->E definido así: si x=(x1,x2,...xn)∈Rn entonces S(x1,...xn)=sum(xi·ui).

Si ||·|| y ||·||' son dos normas cualesquiera en E, definimos las siguientes normas: Dado x∈Rn: ||x||s:=||S(x)|| y ||x||'s:=||S(x)||'.
Estas normas son equivalentes en Rn, esto es, existen a,b>0 tales quepara todo x∈Rn a·||x||s≤||x||'s≤b·||x||s si y solo si a·||S(x)||'≤||S(x)||'≤b·||S(x)||'.

Sea y∈E, como S es suprpayectiva existe x∈Rn tal que y=S(x), entonces a·||y||s≤||y||'≤b·||y||.

La completitud en E con cualquiera de sus normas se deduce de la completitud en Rn usando la identificación dada por ||x||s:=||S(x)|| para todo x∈Rn.

The last definition: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. y f:M-->F una aplicación definida en M⊂E. Se dice que f es uniformemente continua cuando para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [x,y∈M, d(x,y)<δ] implica ρ(f(x),f(y))<ε.
Seguro que esta definición nos recuerda mucho a la de continuidad (y es lógico). ¿Dónde está la diferencia? Pues bien, en la continuidad hablamos de puntos concretos (describimos un comportamiento local de la función), en la continuidad uniforme hablamos de todos los puntos del dominio de f (comportamiento global de la función). Una función será uniformemente continua cuando podamos encontrar un δ>0 concreto con el que se cumpla lo dicho en la definición para cualquier pareja de puntos del dominio.

Hay que señalar que la continuidad uniforme implica continuidad, pero el recíproco no es cierto. Ejemplo:

Escogemos la función f:(x)=x². Esta función es continua, pero no uniformemente continua, pues conforme nos alejamos del origen (0,0), la distancia entre las imágenes de los puntos aumenta mucho.

Vemos que si el dominio fuera un entorno perqueño del origen podríamos encontrar un δ pequeñín que nos sirviera para todos los puntos, pero a medida que nos alejamos del origen el valor de la función cambia bruscamente y las imágenes cada vez están más distantes.

Y para acabar:

Teorema: (Teorema de Heine): Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. y f:M-->F una aplicación continua definida en M⊂E. Si K⊂M es compacto entonces f es uniformemente continua sobre K.

Demostración:

Dado ε>0 y x∈K elegimos δx>0 tal que si d(x,y)<δx, para y∈M, tengamos ρ(f(x),f(y))<ε/2. Los conjuntos B(x, δx/2) cubren K y son abiertos. Por tanto, existe un cubrimiento finito B(x1, δx1/2),...,B(xn, δxn/2) que cubre a K.
Sea δ=mín{δx1/2,...,δxn/2}. Si y∈K y d(x,y)<δ, existe xi tal que d(x,xi)<δxi/2 (porque las bolas cubren K) y entonces: d(xi,y)≤d(xi,x)+d(x,y)<δxi/2+δ<δxi.
Por lo tanto, ρ(f(x),f(y))≤ ρ(f(x),f(xi))+ ρ(f(xi),f(y))<ε/2+ε/2=ε.

Et voilà.

Límites y continuidad (3)

2009-10-30T14:58:00.006+01:00

Antes de seguir conviene distinguir que dado A⊂M no es lo mismo decir que f es continua en cada a∈A que decir que f|_{A es continua}. La primera implica la segunda, pero el recíproco es falso. Veamos esto con un ejemplo:

Sea A=Q (el conjunto de los números racionales)
Sea f(x)=0 si x∈Q y f(x)=1 si x∈R\Q.
Entonces tenemos que , como f|_A: A=Q-->R, f|_A=0 en todo su dominio. Esta función es constante, así que está claro que f|_A es continua.
En cambio, f: R-->R no es continua en A, pues entre dos puntos racionales siempre hay un irracional y f iría dando saltos del 0 al 1.
Vemos así que a la hora de describir el comportamiento de una función es de vital importancia que nos fijemos en el dominio.

Proposición: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y f: M-->F. Son equivalentes:

f es continua.
Para cada abierto V⊂F existe un abierto U⊂E tal que f ^-1(V)=M∩U, es decir, la antiimagen de un abierto en F es un abierto relativo en M.
La antiimagen de un cerrado en F es un cerrado relativo en M.
f(A|∩M)⊂f(A)| para cada A⊂M.

De momento sólo pongo una de las pruebas:

1 implica 2: Sea x∈ f^-1(V). Sea y=f(x). Como V es abierto puedo construir una bola B(y,ε)⊂V. Como f es continua, dado ε>0 existe un δ>0 tal que f(B(x,δ)∩M)⊂B(y,ε)⊂V.
U=∪ _x∈_f-1(V) B(x,δx) (δx son los distintos δ). U∩M=f^-1(V).

Otra proposición: Si f,g: M⊂(E,d)-->(F,||·||) y alfa:M-->R y existen lím_x->a f(x), lím_x->a g(x) y lím_x->a alfa(x) entonces:

Existe lím_x->a (f(x)+g(x))=lím_x->a f(x)+lím_x->a g(x).
Existe lím_x->a (alfa(x)·g(x))=lím_x->a alfa(x)·lím_x->a g(x).
Si lím_x->a alfa(x)≠0, existe lím_x->a (alfa^-1(x)·g(x))=(lím_x->a alfa(x))^-1·lím_x->a g(x).
Si f:E-->R^m, f=(f1,f2...fm) donde f1: E-->R son las funciones coordenadas, entonces f es continua en a si y sólo si cada fi es continua en a.
Si la norma de F es la asociada al producto escalar <·,·>, entonces también existe el límite lím_x->aii),ig(x)>i=<lím_x->a f(x), lím_x->a g(x)>.

Demostración de 5: (tengo que revisarla, que hay algo que no me cuadra).

Sea l=lím_x->a f(x) y k=lím_x->a g(x). Veamos que<ill,k>es el límite de i<if(xi),g(x)>iiicuando x-->a.
|i<if(xi),g(x)>i-i<ill,k>i|=|if(x)i-li,g(x)-k>| ≤||f(x)-l||·||g(x)-k|| (esta última desigualdad es por la desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Regla de la cadena: Sean (Ej,d,), 1≤j≤3, tres e. m. y Mj⊂Ej para j=1,2. Sea f: M1-->M2 una aplicación con límite b∈M2 cuando x-->a∈M1'. Si g: M2-->E3 es continua en b entonces existe lím_x->a g(f(x))=g(b).
Si además a∈M1 y f es continua en a entonces gof (g compuesta con f) es continua en a.

Sigo en otra entrada.

Límites y continuidad (2)

2009-10-29T22:54:00.004+01:00

Continuamos con el capítulo (aunque hoy será breve).

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y a∈M'. f: M-->F y b∈F. Entonces, lím_x->a f(x)=b si y solo si para cualquier sucesión (xn)⊂M, con xn distinto de a y lím_n->∞ xn=a se tiene que lím_n->∞ f(xn)=b.

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E. Una aplicación f: M-->F es continua en a∈M cuando para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [para todo x∈M, con d(x,ia)<iδ]ise tiene que ρi(f(x),f(a))i>ε.
En estas condiciones, si además a∈M', entonces f(a)=lím_x->a f(x). Diremos que f es continua cuando lo sea en todo su dominio.

Proposición: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E, a∈M y f: M-->F. Son equivalentes:

f es continua en a.
lím_n->∞f(xn)=f(a) para cada sucesión (xn) de M convergente a a.
Para cada A⊂M con a⊂A| se cumple f(a)∈f(A)|.

Algunas demostraciones:

2 implica 3. Sea A⊂M, a⊂A|. Entonces existe una sucesión (xn)⊂A tal que xn converge a a. Por hipótesis f(xn) converge a f(a) y esto implica que f(a)∈{f(xn) n∈N}
2 implica 1. Supongamos que f no es continua en a, es decir, existe un ε>0 para todo n∈N tal que existe una sucesión xn⊂B(a,1/n) de modo que f(xn)∉B(f(a)ε). Pero esto contradice nuestra hipótesis. ¡Absurdo!
3 implica 2. Sea (xn)⊂M, xn-->a entonces, por hipótesis, a∈{xn: n∈N}| implica que f(a)∈{f(xn): n∈N}|. Supongamos que f(xn) no converge a f(a). Entonces existe un ε>0 tal que para todo n∈N existe m>n tal que f(xm)∉B(f(a)ε).
n=1. Existe n1>1 tal que f(xn1)∉B(f(a)ε).
n=n1. Existe n2>n1 tal que f(xn2)∉B(f(a)ε)...
Es decir, tenemos que xn converge a a y que f(xn) no está en la bola B(f(a),ε). Pero si aplico la hipótesis al nuevo conjunto tengo que a∈{xnk: k∈N}| pero f(a)∉{f(xnk): n∈N}|. ¡Contradcicción!

Además, es claro que si a es un punto aislado de M, toda aplicación f:M-->F es continua en a.

Y hasta aquí.

Límites y continuidad

2009-10-26T19:23:00.008+01:00

Allá vamos con un nuevo capítulo: Aplicaciones entre espacios métricos.

Y qué menos que comenzar con una definición:

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y a∈M' (a es un punto de acumulación de M que puede pertenecer o no a M).

Definición (importantiña): Una aplicación f: M-->F tiene límite b∈F cuando x tiende hacia a si para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [para todo x∈M, con 0<id(x,ia)<iδ]ise tiene que ρi(f(x),b)i>ε. Esto se escribe así: lím f(x)=b (cuando x tiende a a).

También podemos expresar está definición en términos de topologías (ya que es lo que hemos estado estudiando): Para todo U entorno abierto de b existe V entorno reducido de a tal que f(V∩M)⊂U.

Vemos que en la definición de límite no interviene para nada el valor f(a) cuando a∈M.

Si a es un punto de acumulación de A⊂M y f|_A: A-->F tiene límite b_A, cuando x tiende a a, se dice que b_Aes el límite de f(x) cuando x tiende a a a través del conjunto A.
Es claro que si existe el límite cuando x tiende a a en general, también existirá cuando x tiende a a a través de un conjunto determinado.

Y aunque parezca tonto, este concepto de límite a través de un conjunto es muy útil para decidir si un límite existe o no. Sólo hay que encontrar un conjunto A⊂M con a⊂A', a través del cual no exista el límite; o dos conjuntos A₁,A₂∈M con a⊂A'₁, a⊂A'_2,a través de los cuales existan y sean distintos los límites.
Por otro lado, para estudiar la existencia de un límite, hay que averiguar el candidato a límite, esto es, un punto b ∈F del que se pueda asegurar que si existe el límite vale b).

Definimos ahora el concepto de límites iterados, que consiste en el límite a través de rectas y el uso de coordenadas polares en el plano para el estudio de límites de funciones reales de dos variables.

Sea f: M⊂R²-->R, con (0,0)∈M' y para cierto (x0,y0)∈M los conjuntos A={(x0,y): 0≤ y≤ y0}∪{(x,0): 0≤ x≤ x0} y B={(x,y0): 0≤ x≤ x0}∪{(0,y): 0≤ y≤ y0} cumplen A⊂M y B⊂M. Se definen los límites iterados en (0,0) (cuando existen) como:

lím_y->0 (lím_x->0 f(x,y) ) = λ_1,2lím_x->0 (lím_y->0 f(x,y) ) = λ_2,1En las condiciones de la definición anterior, si los límites son distintos entonces no existe lím_(x,y)->(0,0)f(x,y).

Límites direccionales: Sea g: I⊂R-->R, con 0 un punto de acumulación de I y lím_x->0 g(x)=0. Definimos el límite de f: M⊂R²-->R a lo largo de g (cuando exista) como λ_g=lím_x->0 (x,g(x)).

Si encontramos dos funciones, g1 y g2, cumpliendo las condiciones de la definición anterior y tales que λ_g1, λ_g2 son distintos, entonces no existe el límite de f en (0,0). Es habitual tomar como función g rectas que pasan por el origen de coordenadas (y=x, y=x², x=y²,...).

Y por último, las polares: Sea f: R²-->R, l∈R. Consideremos la función que resulta de cambiar a coordenadas polares las variables en f, f*(θ,ρ)=f(ρcosθ,ρsenθ). Si |f*(θ,ρ)-l| ≤φ(ρ) con lím ρ_->0 φ(ρ) =0 , entonces lím_(x,y)->(0,0)f(x,y)=l .

A lo largo de esta semana iré poniendo más cosichuelas.

Conexión (2).

2009-10-14T21:24:00.002+02:00

Teorema: Un e.m. E es conexo si y solo si los únicos subconjuntos de E que son a la vez abiertos y cerrados son ∅ y E. (falta demostración).

Sea ahora E un espacio normado. Si a, b∈E, el segmento que une a y b es el conjunto [a,b]={t·a+(1-t)·b : 0≤t≤1}.

Una poligonal que enlace a con b es la unión finita de segmentos [a,c1]∪[c1,c2]∪...∪[cn-1,b].

A partir de la conexión de los intervalos de R es fácil ver que una poligonal es un conjunto conexo. Un conjunto M⊂E se dice que es conexo por poligonales si cualesquiera de sus puntos pueden ser enlazados por una poligonal contenida en M. Puede comprobarse que todo conjunto conexo por poligonales es conexo, pero el recíproco es falso en general. Lo que sí que se puede demostrar es que en espacios normados todo conjunto abierto y conexo es conexo por poligonales.

Demostración:

Sea S conjunto abierto y conexo en E y sea x∈S. Vamos a probar que x puede unirse con cualquier otro punto de S mediante una poligonal contenida en S.

Sea A el subconjunto de S formado por los puntos que pueden unirse con x mediante una poligonal. Sea B=S\A. Entonces S=A∪B, con A y B disjuntos.

Probaremos que A y B son abiertos en E. Sea a∈A y unamos a con x por medio de una poligonal. Como a∈S y S es abierto, existe B(a,r)⊂S para algún r>0. Si y∈B(a,r), [a,y]⊂B(a,r) y por tanto y puede unirse con x por medio de una poligonal (a la que une x y a le unimos el segmento [a,y]) lo cual implica que y∈A, es decir, B(a,r)⊂A, y por tanto A es abierto.

Sea b∈B, y sea B(b,s)⊂S. Si un punto de B(b,s) puede unirse con x mediante una poligonal tendríamos que b también se podría unir con x, es decir, b pertenecería a A, pero como b no pertenece a A, tenemos que ningún punto de la bola se puede unir con x, es decir, B(b,s)⊂B. Luego B es abierto.

Hemos obtenido una descomposición S=A∪B, de S formada por abiertos disjuntos. Pero A es no vacío ya que x∈A. Como S es conexo, B deberá ser vacío, con lo cual S=A.

Pero es evidente que A es conexo por poligonales y que cualquier par de puntos de A pueden unirse por medio de una poligonal (uniendo ambos con x). Por consguiente S es conexo por poligonales.

Y sanseacabó.

Compacidad en espacios métricos (3) y conexión

2009-10-13T19:00:00.007+02:00

Informo de que esta es la penúltima entrada del capítulo.

Ya vimos que en un e.m. los conjuntos compactos son cerrados y acotados, pero el recíproco no es cierto en general. El teorema siguiente establece que en Rn con la norma euclídea el recíproco sí que se cumple.

Teorema de Heine-Borel-Lebesgue: Un subconjunto K de Rn es compacto para la topología usual si y sólo si es cerrado y acotado.

Prueba:

Sólo queda realizar la segunda aplicación, así que allá vamos.
Si K es acotado, existe r>0 tal que K⊂B(0,r)⊂B(0,r)∞=[-R.R]x...x[-R,R]. Probaremos que [-R,R]ⁿ es compacto, y como K es cerrado y ⊂[-R,R]ⁿ será por tanto, compacto. Haremos la prueba para n=2 y usaremos que un conjunto es compacto si y solo si es sucesionalmente compacto. (a¹ y a² denotan cada una de las coordenadas de la sucesión).

Sea (Xm)∞=(Xm¹,Xm²)∞∈[-R,R]x[-R,R]. Como (Xm¹)∞⊂[-R,R]x[-R,R], es compacto. Existe entonces (Xmj¹)∞ subsucesión de (Xm¹)∞ convergente hacia un punto x¹∈[-R,R].

La sucesión (Xmj²)∞⊂[-R,R]. Existe una subsucesión (Xmjk²)∞ convergente a un punto x²∈[-R,R].

Como (Xmj¹)∞ converge hacia x¹, puedo coger los términos que yo quiera de esta susubsucesión y construirme otra subsucesión que también va a converger a x¹. Para que en [-R,R]x[-R,R] una sucesión converja, tienen que converger cada una de las coordenadas por separado pero con los mismo índices. Es por eso que voy a elegir unos términos determinados de (Xmj¹)∞. Me voy a quedar con la subsucesión (Xmjk¹)∞ (que converge a x¹).

Entonces tenemos que la subsucesión (Xmjk)∞=(Xmjk¹,Xmjk²) converge a (x¹,x²) y es subsucesión de (Xm)∞.

[-R,R] es sucesionalmente compacto (cada sucesión de [-R,R] tiene una subsucesión convergente a un punto de [-R,R]), y por tanto, es compacto.

Pasamos a la conexión:

Un conjunto M de un e.m. E se dice que es conexo cuando para toda partición no trivial de él: M=S∪T, S∩T=∅, S≠∅, T≠∅, se tiene S∩T|≠∅ o S|∩T≠∅. Es decir, el conjunto es conexo si no está "roto", como explicaré en la nota.

En particular, si M=E obtenemos la noción de e.m. conexo.

Hay que tener en cuenta que en esta definición no interviene la métrica del espacio sino su topología.

Nota: Otra forma de ver la conexión es que un conjunto conexo M⊂E no se puede escribir como la unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos. Si fueran S,T abiertos en E con M=S∪T, S∩T=∅, S≠∅, T≠∅, por ser M conexo podemos suponer que S∩T|≠∅. Sea x∈S∩T|. Como S es abierto, existe ε>0 tal que B(x,ε)⊂S y como además x∈T|, B(x,ε)∩T≠∅ lo cual implica que S∩T≠∅, y esto es una contradicción.

El primer ejemplo de conjuntos conexos lo encontramos en R: Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.
Recordemos que un intervalo queda definido de la siguiente forma: (a,b)={x∈R: a<sxd<ibi}.

Los espacios Rn son conexos. En e.m. arbitrarios se demuestra que la unión arbitraria de conjuntos conexos tales que cada dos de ellos tienen intersección no vacía, es un conjunto conexo. Además, la clausura de un conjunto conexo vuelve a ser un conjunto conexo.

Mañana o después veremos una caracterización importante de los e.m. conexos.

Compacidad en espacios métricos (2).

2009-10-12T12:14:00.006+02:00

Teorema de Bolzano Weierstrass: Sea (E,d) un e.m. y K⊂E un subconjunto, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

K es compacto.
K es sucesionalmente compacto.

Demostración:

1 implica 2. Sea Xn⊂K, supongamos que no tiene ninguna subsucesión convergente. En particular, esto implica que la sucesión tiene infinitos puntos distintos yk, que podemos tomar como subsucesión de Xn.

Además, para todo k∈N existe un entorno abierto Uk que contiene a yk tal que yj∉Uk si j≠k. Probemos esto: Si no fuera así habría de existir un k tal que cualquier entorno abierto de yk contiene a un yj. Tenemos, en particular, que para cualquier m∈N existe un jm∈N con yjm∈B(yk,1/m). Podemos extraer una subsucesión (yjm)∞ de (yn)∞ cumpliendo que d(yk,yjm)<1/m,styipara cualquier imi∈N, lo que implica que la sucesión yjm converge a yk, contrario a la hipótesis por ser yjm subsucesión de Xn.

El conjunto {y1, y2...yn...} no tiene ningún punto de acumulación (ya que podemos hacer bolitas de centro y1, y2... que sólo contienen a y1, y2... Recordemos que M|=M∪M'. Como no hay ningún punto de acumulación, M|=M, y esto implica que M es cerrado. Luego {y1, y2...yn...} es cerrado. Además, como está en K, que es compacto, {y1, y2...yn...} también es compacto. La familia {Uk}∞ es un recubrimiento abierto de {y1, y2...yn...} que no admite un cubrimiento finito debido a que {y1, y2...yn...} es infinito y a que demostramos que para todo k∈N existe un entorno abierto Uk que contiene a yk tal que yj∉Uk si j≠k. Esto es una contradicción, pues {y1, y2...yn...} es compacto. Por tanto Xn tiene una subsucesión convergente y como K es cerrado, el límite está en K.

2 implica 1. Sea {Ui} un cubrimiento abierto de K. Existe r>0 tal que para todo y∈K, B(y,r)⊂Ui para algún I. Si no fuese así para todo n existiría yn∈K de manera que B(yn,1/n) no está contenida en ningún Ui. Pero por hipótesis la sucesión yn ha de tener una subsucesión (zn) convergente a z∈K. Como {Ui} recubre a K, z∈Ui0 para algún i0. Como Ui0 es abierto existe ε>0 tal que B(z,ε)⊂Ui0. Podemos tomar N lo suficientemente grande para que d(zN,z)<ε/2 y 1/N<ε/2. Entonces B(zN,1/N)⊂Ui0. Contradicción.

Para cualquier ε>0 existe {y1, y2...yn}⊂K tal que K⊂∪B(yk,ε). Supongamos que existe ε tal que K no se pueda cubrir con un número finito de bolas abiertas de radio ε. Elegimos y1∈K arbitrario y tomamos y2∈K\B(y1,ε)≠∅. Por hipótesis podemos repetir el proceso y así elegir yn∈K\[B(y1,ε)∪...∪B(yn-1,ε)]. La sucesión así formada cumple que d(yj,yk)≥ε para j≠k y por tanto no admite subsucesiones convergentes, lo cual contradice el hecho de que K es sucesionalmente compacto.

Para terminar, sea r>0 y sean {y1...yn} para ε=r. Así K⊂∪k B(yk,ε) (desde k=1 hasta k=n) y como B(yk,ε)⊂Uik para algún ik tenemos que K⊂Ui1∪...Uin, que es el cubrimiento finito que buscamos.

Ála, ya llevo análisis al día.

Compacidad en espacios métricos.

2009-10-11T17:17:00.003+02:00

Hoy, si voy a buen ritmo, termino con análisis. Y ya vuelvo a con él el martes.

Vamos a comenzar fuerte con una de las formulaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass: Sea K⊂(E,d) un conjunto compacto. Entonces

K es cerrado.
K es acotado.
Si F⊂K es cerrado, F es compacto.

Pruebas varias:

1. Consideramos G=E\K. Probaremos que G es abierto. Sea x∈G y los conjuntos abiertos Un={y∈E : d(x,y)>1/n para todo n}=B^c(x,1/n). Es decir, en Un están todos los puntos y que están fuera de la bola B(x,1/n). Vemos que a mayor n, esta bola es más pequeña, luego Un es cada vez más grande.

Como todos los y∈K son distintos de x, tenemos que d(x,y)>0, habrá por tanto algún n tal que y∈Un. Así, K⊂∪Un (desde n=1 hasta infinito). Como K es compacto se puede extraer un cubrimiento finito, así que K⊂Un1∪Un2∪...Unk.
Sea ahora N el máximo de los n1, n2...nk. U=B^c(x,1/N) es el mayor de los Un, luego es claro que K⊂U. Pero entonces, como G es el complementario de K, y B(x,1/N) el complementario de U, tenemos que B(x,1/N)⊂G. Esto quiere decir que para todo x puedo encontrar una bola con centro x que esté contenida en G, esto es, G es abierto (K es cerrado).

2. Sea x0∈K, la familia {B(x0,n) con n∈N} es un cubrimiento abierto de K. Como K es compacto ha de tener un cubrimiento finito, K⊂∪B(x0,nj) (desde k=1 hasta j=k). Sea M el máximo de los n1,n2...nn, entonces K⊂B(x0,M), luego diam(K)≤2M, esto es, K está acotado.

3. Sea {Ui} un cubrimiento abierto de F. Consideramos G=E\F, que es abierto (por ser F cerrado). Entonces [{Ui,G} cubre a K. Por ser K compacto podemos extraer un cubrimiento finito de K, que será de la forma {Ui1,Ui2...Uin,G}. Luego{Ui1,Ui2...Uin} cubre a F. F es compacto.

Definición: Un subconjunto A⊂(E,d) de un e.m. decimos que es sucesionalmente compacto si de toda sucesión de A podemos extraer una subsucesión convergente a un punto de A.

Proposición: Sea K⊂(E,d) un conjunto sucesionalmente compacto. Entonces:

K es cerrado.
K es acotado.
Si F⊂K es cerrado, F es compacto.

Además, K es sucesionalmente compacto si y solo si todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulación en K (es decir, un punto x tal que B(x,r)∩K=infinito). (me falta escribir esta demostración).

Otras tantas pruebiñas:

1. Veamos que K es cerrado. Si no lo fuese, K^c sería cerrado por lo que existiría algún x∈K^c tal que B(x,ε) no está contenido en K^c para cualquier ε>0. Es decir, que hay puntos en el intervalo (x-ε, x+ε) que están en K. Si tomamos ε=1/n, para cada n existirá yn∈K con d(yn,x)<1/n, o lo que es igual, yn⊂(x-1/n,x+1/n). De la sucesión de puntos (yn) podemos encontrar una subsucesión (ynk) convergente a un punto y de K (hipótesis). Pero resulta que la sucesión (yn) converge a x, pues cuanto mayor es n, menor es la distancia entre los términos de la sucesión y x. Como (ynk) es subsucesión de yn, también converge a x. Como el límite de una sucesión (en este caso subsucesión) es único llegamos a que x=y. Luego x está en K, que es una contradicción. Concluimos que K entonces tiene que ser cerrado.

2. Si no fuese acotado, para cualquier n existiría Xn∈K con |Xn|>n. Por hipótesis podemos encontrar una subsucesión Xnk convergente a un punto de K, y por ser convergente, es acotada, por lo que entramos en una contradicción. K es por tanto acotado.

3. Probaremos que F está acotado. Si no lo fuese, para cualquier n existiría Xn∈F con |Xn|>n. Consideramos Xn⊂F. Como Xn también está contenida en K, sabemos que existe una subsucesión Xnk⊂K que converge a x∈K. Pero como (Xnk)⊂(Xn), Xnk⊂F, y como F es cerrado, Xnk converge a un punto de F (que coincide con x, pues el límite es único). Contradicción, porque si es convergente, es acotada. Luego F es acotado, y por ser también cerrado, es compacto.

Mañana (o en un rato) añado lo último que me falta, otro teorema de los señores Bolzano y Weierstrass, que es bastante largo y su correspondiente demostración.

Completitud en espacios métricos.

2009-10-10T16:25:00.004+02:00

Ayer prometía una bonita proposición, así que aquí la traigo:

Todo subconjunto completo M⊆(E,d) es cerrado, y si (E,d) es completo, todo subconjunto cerrado de E es completo.

A por la demostración:

Sea M⊆(E,d) completo. Sea Xn⊆M una sucesión convergente a x∈E. Tenemos que probar x está en M (recordemos que un conjunto es cerrado si y solo si el límite de toda sucesión convergente del conjunto está en dicho conjunto). Como Xn es convergente en E, es por tanto, de Cauchy (tanto en E como en M, pues la distancia entre los términos no varía de E a M). Por ser M completo, Xn tiene que converger a y∈M. Como el límite es único--->x=y∈M. M es cerrado.

Probaremos la segunda parte de la proposición: Suponemos E completo y M⊆(E,d) cerrado. Sea Xn⊆M una sucesión de Cauchy en M. Si la "miramos" en E también será de Cauchy, luego está claro que por ser E completo, Xn convergerá a x∈E. Ahora bien, M es cerrado, así que el límite de Xn tiene que quedarse en M, por tanto M es completo (toda sucesión de Cauchy es convergente).

Las nociones de sucesión de Cauchy y espacio métrico completo no son topológicas. ¿Qué quiere decir esto? Que puede haber dos distancias equivalentes sobre el mismo conjunto E que no den lugar a las mismas sucesiones de Cauchy, de forma que E sea completo para una distancia y no lo sea para la otra. En espacios normados esto no ocurre (gracias a la proposición importantilla de ayer. Recordemos que el hecho de que dos distancias sean equivalentes no implica que se cumpla la desigualdad a||x||≤||x||'≤b||x||).

Teorema: Si ||·|| es una de las tres normas usuales de Rn (que estuvimos manejando ayer), entonces (Rn,||·||) es completo.

Prueba:

Vamos a probar, por ejemplo, que (Rn, ||·||∞) es completo.
Sea xk sucesión de Cauchy en (Rn, ||·||∞). Dado ε>0 existe k0∈N tal que si k,m>k0 ||xk-xm||≤ε. Tomamos ahora xk=(xk¹,xk²...) con i=1,2...n. Tenemos entonces lo siguiente: |xkⁱ-xmⁱ|≤||xk-xm||∞≤ε (esto se debe a que ||xk-xm||∞=máx{|xkⁱ-xmⁱ|, i=1...n.}) para todo k,m>k0.
Esto significa que la sucesión xnⁱ es de Cauchy. Como R es completo, las sucesiones de las coordenadas son convergentes, esto es, para cada i existe xⁱ=lim(xkⁱ) y por tanto xk converge hacia (x¹,x²...) con i=1,2...n.

Definición: El diámetro de un subconjunto A de un e.m. (E,d), por defición es el supremo.
diam(A)=sup{d(x,y);x,y∈A}≤+∞.
Un subconjunto M de E se dice que es acotado si diam(A)<∞.

#Si A es acotado, dado x0∈A existe r>0 : A⊆B(x0,r).

Prueba:

diam(A)=K<∞. x0∈A, r=K. A⊆B(x0,r).
A⊆B(x0,r). diam(B(x0,r))≤2r. Sean x,y∈A; d(x,y)≤d(x0,x)+d(y,x0)≤r+r=2r. Luego A está acotado.

No es cierto en general que dos métricas equivalentes definan los mismos conjuntos acotadas, pero esto sí ocurre en un espacio normado (debido a la proposición bendita que antes ya hemos mencionado).

Teorema de Cantor: Sea (E,d) un e.m. completo. Toda sucesión decreciente de conjuntos cerrados no vacíos, Cn⊆E que cumpla lim(diam(Cn))=0 tiene intersección no vacía.

Demostración:

Para cada n elegimos xn∈Cn. Probemos primero que la sucesión es de Cauchy. Dado ε>0, como lim(diam(Cn))=0 existe n0 tal que diam(Cn)<ε para todo n>n0. Si n,m>n0 tenemos que xn∈Cn⊆Cn0 y xm∈Cm⊆Cn0, y llegamos a que d(xn,xm)≤diam(Cn)≤ε.
Como (E,d) es completo, xn es convergente hacia un punto de E. Cada Cn es cerrado y xk∈Cn para todo k>n, luego x∈Cn, esto es, la intersección de los Cn es no vacía, pues está x.

Después sigo.

Topología en espacios métricos (4).

2009-10-09T16:32:00.003+02:00

Let's go on.

x es un punto de aglomeración de la sucesión Xn si y sólo si para cada ε>0 el conjunto {n∈N: Xn∈B(x,ε)} es infinito, esto es, si en la bola hay infinitos términos.

Demostración:

Si x es un punto de aglomeración de Xn, existe una subsucesión de Xn que converge hacia x. Dado ε>0 existe k0∈N tal que si k>k0, entonces Xnk∈B(x,ε). Luego dentro de la bola se quedan infinitos términos.
A por el recíproco. Sea ε=1, el conjunto{n∈N: Xn∈B(x,1)}≠∅, podemos elegir por tanto n1∈N: x1∈B(x,1). Tomemos ahora ε=1/2, el conjunto {n∈N: Xn∈B(x,1/2)} es infinito, así que podemos coger un n2>n1 tal que x2∈B(x,1/2). Respitiendo este proceso voy consiguiendo una sucesión creciente de números naturales n1, n2, n3...nk... tal que una subsucesión Xnk∈B(x,1/k).

Dos métricas, d y d', definidas sobre un mismo conjunto E se dice que son equivalentes si definen la misma topología sobre E.
Dos normas, ||·|| y ||·||', sobre un mismo espacio vectorial se dice que son equivalentes cuando las distancias asociadas lo son.

Dos métricas sobre un conjunto son equivalentes si y solo si tienen las mismas sucesiones convergentes y convergen al mismo límite. Es decir, Xn d-converge a x∈E si y solo si Xn d'-converge a x.

Prueba:

Partimos de que d y d' son métricas equivalentes (tienen por tanto los mismos conjuntos abiertos). Sea Xn d-convergente a x∈E. Sea U d'-abierto, x∈U. U es también d-abierto, así que existe un n0 a partir del cual Xn∈U. Por tanto Xn d'-converge tambiém a x.
Suponemos F⊆E d-cerrado. Sea Xn⊆F, Xn d'-converge a x∈E, y por hipótesis Xn d-converge a x∈F (porque F es cerrado). Luego F es también d'-cerrado. d y d' son equivalentes.

La distancia asociada a la norma d(x,y)=||x-y|| es invariante por translaciones: d(x,y)=d(a+x,a+y). La distancia también se comporta bien con las homotecias respecto al origen: d(ax,by)=ab·d(x,y). Y otra propiedad que diferencia a las normas de las métricas generales es la que da el siguiente resultado:

Proposición importantilla:Sea E un e.v. sobre K y ||·||, ||·||' dos normas sobre E. Una condición necesaria y suficiente para que las dors normas seas equivalentes es que existan dos constantes a,b>0 tal que a||x||≤||x||'≤b||x|| para todo x∈E.

Probémoslo:

Veremos primero la condición necesaria. Supongamos que las dos normas son equivalentes. Como las topologías de ambas normas tienen los mismos abiertos, la bola abierta B(0,1) respecto de ||·|| ha de ser un conjunto abierto respecto de ||·||'. En particular, como el 0 está contenido en la bola B(0,1) respecto de ||·||, existe r>0 tal que B(0,r)(||·||')⊆B(0,1)(||·||).

Sea a∈R con a

Veamos la condición suficiente, esto es, que si se cumple a||x||≤||x||', todo abierto para ||·|| es abierto para ||·||'.

Sea r>0 y x∈B(c,a·r)(||·||'), es decir, ||x-c||'

Consideramos C abierto para ||·|| y c∈C. Eciste r>0 tal que B(c,r)(||·||)⊆C. Pero esntonces también se cumple que B(c,a·r)(||·||')⊆C. Luego llegamos a que C es ||·||'-abierto.

En el caso de espacios métricos en general, si d y d' son métricas de E, si existen a,b>0 con a·d(x,y)≤d'(x,y)≤b·d(x,y) entonces d y d' son equivalentes. Sin embargo, el hecho de que sean equivalentes no implica que existan a y b que cumplan la desigualdad. Veamos un ejemplo de que no se cumple:

Consideramos la métrica del valor absoluto y la métrica acotada, p. La métrica del valor absoluto es equivalente a p pero no existe a>0 tal que a·d(x,y)≤p(x,y) para todo x e y.

Las normas ||·||1 y ||·||∞ aunque no proceden de un producto escalar (al contrario que ||·||2), también definen la topología usual de Rn. Basta aplicar la proposición anterior teniendo en cuenta las desigualdades:

||x||∞≤||x||2≤sqrt(n)||x||∞
1/sqrt(n) ·||x||1≤||x||2≤sqrt(n)||x||1

Pruebas:

Recordamos que ||x||∞=max{|xi| con i=1,2...}. |xi|=sqrt(xi²)≤sqrt(x1²+...+...xi²+...xn²)=||x||2.
||x||2=sqrt(x1²+...+...xi²+...xn²)≤sqrt(||x||∞²+...+...||x||∞²+...||x||∞²)=sqrt(n)||x||∞.
Para demostrar 1/sqrt(n) ·||x||1≤||x||2 utilizamos la desigualdad de Cauchy Schwarz. Sea x∈Rn, tomamos a∈Rn tal que ai·xi=|xi| (luego a=+1,-1). ||xi||1=sum|xi|=sum(ai·xi)=≤||a||2·||x||2=sqrt(n)·||x||2.
||x||2=sqrt(x1²+...+xn²)≤sum(xi)=||x||1.

Corolario: En (Rn, ||·||2), limXn=x si y solo si la convergencia es coordenada a coordenada.

Demostración:

Supongasmo que (xn,yn)------>(x,y). Entonces d∞((x,y),(xn,yn))=max{|xn-x|,|yn-y|} y esto tiene que tender a 0. La única forma es que tanto |xn-x| como |yn-y| tiendan a 0.

Para acabar introduciré algunos nuevos relacionados con la completitud.

Recordaré que la noción de completitud, esto es, que toda sucesión de números reales que sea de Cauchy es convergente, equivale al Principio de encaje de Cantor y éste al axioma del supremo (todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene un supremo). Sobre (San) Cantor hablaremos más adelante.

Sea (E,d) un e.m. Una sucesión Xn en E se dice que es de Cauchy si dado ε>0 existe un número natural n0 tal que si k,n>n0 entonces d(xnk,xn)≤ε.

#En un espacio métrico toda sucesión de Cauchy es acotada y toda sucesión convergente es de Cauchy, pero el recíproco generalmente es falso.

Un e.m. se dice que es completo si y solo si toda sucesión de Cauchy en E es convergente. Cuando un espacio normado es completo se le denomina espacio de Banach.

Sea M un subconjunto del e.m. (E,d), la restricción MxM de la distancia d es una distancia en M que denotaremos dM. Si el espacio (M,dM) es completo diremos que M es un subconjunto completo de E.

Creo que hoy me puse bien las pilas. Mañana seguimos con una bonita proposición.

Topología en espacios métricos (3).

2009-10-07T20:35:00.008+02:00

Tras este tiempo sin repasar nada de análisis, volvemos por donde lo dejamos.

Proposición(I): Un punto x es adherente a M⊂E si y solo si es límite de alguna sucesión contenida en M.

Demostrémoslo:

Si x∈M| para todo n B(x,1/n)∩M ≠ ∅. Podemos elegir para cada n, Xn∈B(x,1/n)∩M y entonces d(x,Xn)<1/n.iPor tanto Xn converge a x.i
Probemos el recíproco. Sea Xn∈M cuyo límite es x. Sea U abierto con x∈U, por definición de límite, existe n0 tal que si n>n0, Xn∈U, y esto implica que U∩M≠∅, es decir, x es un punto adherente a M.

Proposición(II): Un punto x es un punto de acumulación de M⊂E si y solo si es límite de alguna sucesión contenida en M\{x}. Quitamos el x porque si x está en la sucesión y además es el límite, la sucesión sólo puede ser una sucesión constante en la que todos los términos son el x. Pero entonces no se cumpliría el recíproco que diría que si x es límite de alguna sucesión contenida en M, x es un punto de acumulación.

Si x∈M' para todo n B(x,1/n)∩M=∞. Podemos elegir para cada n, Xn∈B(x,1/n)∩M (lo elegimos con x∉Xn, y podemos hacer esto porque la intersección está formada por un número infinito de elementos) y entonces d(x,Xn)<1/n.iPor tanto Xn converge a x.i

Sea Xn∈M\{x} cuyo límite es x. Sea U abierto con x∈U, por definición de límite, existe n0 tal que si n>n0, Xn∈U. Como la sucesión no puede ser constante (es decir, que todos los términos sean x) tenemos que Xn obligatoriamente está formada por infinitos números distintos, luego U∩M=∞. x es por tanto un punto de acumulación de M.

Un conjunto F⊂(E,d) es cerrado si y solo si toda sucesión Xn⊂F convergente tiene su límite en F.

Prueba:

Suponemos que F es cerrado y sea Xn una sucesión de F convergente hacia x. Si x∉F, x∈E\F, y como este conjunto es abierto existe r>0 tal que B(x,r)⊂E\F. Como el límite es x, existe n0 tal que si n>n0 Xn∈B(x,r), y esto nos lleva a que Xn∉F. ¡Absurdo! x está en F.
Sea x∈E\F=:G. Si G fuese cerrado, podríamos elegir una sucesión Xn∈B(x,1/n) de forma que la sucesión no estuviese contenida en G. Xn entonces pertenecería a F y además ||x-Xn||<1/n,tyes decir, Xn tiende a x.j.y por hipótesis x∈Fy. Luego G es abierto.

Definición: Sea Xn una sucesión en E. Si n1<in2o... es una sucesión infinita creciente de números naturales, a Xnk le llamaremos subsucesión de Xn.
dfrgthyjkml,ñ
La última proposición de hoy: Si la sucesión Xn de E converge hacia x, cada subsucesión de Xn también.
Prueba:

Dado ε>0 existe n0∈N tal que si n>n0, d(Xn,x)<ε. Consideramos ahora Xnk subsucesión de Xn. Sea k0∈N tal que n0k>n0, entonces si k>k0 tenemos que d(Xnk,x)<ε.

Para acabar diremos que x∈E es un punto de aglomeración de la sucesión Xn si x es límite de alguna subsucesión de Xn.

Mañana y pasado a ver si sigo con esto y lo consigo poner al día, que se me está acumulando la tarea.

Topología en espacios métricos (2).

2009-10-01T17:42:00.005+02:00

Hoy seguimos el tema que dejamos ayer. Comenzamos con el concepto de frontera.

La frontera de M, ∂M, es el conjunto formado por los puntos adherentes a M que no son interiores a M (los bordes del intervalo, vamos). El exterior de M es el interior de su complementario, que coincide con el complementario de M|. Por ejemplo, si consideramos el conjunto M=[0,1]∈R. M⁰=(0,1); M|=[0,1]; ∂M=[0,1]\(0,1)={0,1};
extM=(-∞,0)∪(1,+∞).

Definición: Sea M⊂(E,d). Si para cada r>0 el conjunto B(x,r)∩M tiene infinitos elementos se dice que x es un punto de acumulación de M y se escribe x∈M'.

Ejemplo: A={1/n: n∈N}, los puntos de A son 1,1/2,1/3... y tienden a 0. Los puntos de A no son puntos de acumulación, puesto que puedo encontrar un r tal que B(x,r)∩A={x}, es decir, bolas que únicamente contengan a un elemento de A (y eso es contrario a la definición de punto de acumulación. El único punto de acumulación es el 0, ya que a partir de un término se cumple que |1/n -0|<ε, y esto sólo se da cuando el número de términos es infinito. Es claro que M'⊂M|, pues si x es un punto de acumulación, evidentemente estará en el cierre de M, pues M| contiene a todos los x tal que B(x,r)∩M es distinto del vacío, no sólo a los que hagan que la intersección tenga un número infinito de elementos.

Veamos que M| \M'⊂M: Sea x∈M| \M'; x∉M. Existe r>0: B(x,r)∩M={x1,x2...xn} con x distinto de x1,x2...xn. Además puedo encontrar un ε>0: B(x,ε)∩{x1,x2...xn}=∅ (ya que x1,x2...xn es una cantidad finita de elementos). y como x no está en M, B(x,ε)∩M=∅ Llegamos entonces a que x∉M|. Contradicción. Luego M| \M'⊂M.

A los puntos de M| \M' se les denomina puntos aislados. x es un punto aislado de M si hay algún r>0 tal que B(x,r)∩M={x}. Se verifica que M|=M⁰∪∂M=M∪M', donde la primera unión es disjunta.

Proposición: Si M⊂(E,d), M es cerrado si y solo si M'⊂M.

Demostración:

Primero veamos que si M es cerrado, M'⊂M. Sabemos que M|=M∪M', y como M es cerrado, M|=M, luego M∪M'=M, es decir, al añadir M' no estoy añadiendo nuevos puntos a M, luego M'⊂M.
Probemos el recíproco. Como M'⊂M, M^c⊂(M')^c. M|∩M^c⊆M|∩M^'c=(M∪M')∩M^'c⊆M (esto se debe a que M|=M∪M'). Pero entonces M|∩M^c=∅. Pues los puntos de M^c no están en M. Y como M|∩M^c=∅, y esto quiere decir que no hay ningún punto de M| que esté en M^c, luego los puntos de M| estarán en M, esto es, M|=M.

La última definición de hoy: Una sucesión Xn en un e.m. (E,d) es convergente hacia x∈E y se escribe limXn=x, si para cada subconjunto abierto U en E conteniendo a x, existe n0 tal que Xk∈U para todo k≥n0. Es decir, como x∈U abierto, existe ε>0: B(x,ε)⊆U.
En este caso dicho punto x, necesariamente único, se dice que es el límite de la sucesión.

Esta definición es equivalente a la siguiente: Para todo ε>0 existe n0 tal que si k≥n0 Xk∈B(x,ε).

Demostremos la doble implicación:

Está claro que si se da la primera definición se da la segunda, pues ya dijimos ayer que toda bola abierta es un conjunto abierto (la bola abierta es un caso particular de conjunto abierto). Probemos entonces que la segunda implica la primera.
Como U es abierto hay una bola B(x,ε)⊂U, y por la definición, a partir de un momento todos los términos estás en la bola, y en particular, dentro de U.

Para espacios normados, si Xn es una sucesión de (E,||·||), Xn converge a x si y solo si la sucesión de números reales ||Xn-x||-->0 cuando n-->∞.

El asunto sigue mañana.

Topología en espacios métricos.

2009-09-30T18:31:00.005+02:00

Hoy vamos a repasar conceptos y resultados ya conocidos de Análisis.

Sea (E,d) un e.m. se define la bola abierta de centro a∈E y radio r>0 como B(a,r)={x∈E, d(x,a)i}.iiLa bola cerrada se definiría así: B(a,r)={x∈E, d(x,a)≤r}.

Un conjunto A⊂E es abierto si para cada x de A existe r>0 tal que B(x,r)⊂A. Gracias a la desigualdad triangular podemos decir que cualquier bola abierta es un conjunto abierto. Esta demostración se ve clara gráficamente. Dibujamos una bola de centro a y radio r, y dentro de nuestra bola abierta hacemos una bola de menor tamaño (o igual tamaño) con centro en un punto x cualquiera y con radio ε. Lo que vamos a probar es que esta última bola está siempre contenida en la primera (o es igual que esta) para todo x∈B(a,r).

Sea z∈B(x,ε), es decir, d(x,z)<ε. Consideramos ε=(r-d(x,a))/2 (De esta forma evitamos que la bolita se salga de B(a,r)). Tenemos entonces d(z,a)≤d(z,x)+d(x,a)<(r-d(x,a))/2 +d(x,a)= r/2 +d(x,a)/2 = r/2+r/2=r.

Un conjunto A⊂E es cerrado si E\A (su complementario) es abierto. Definimos el conjunto vacío como un conjunto abierto (y así nos ahorramos complicaciones).

Un conjunto V es entorno de a∈E si existe r>0 tal que B(a,r)⊂V. Teniendo en cuenta esto y la definición anterior de conjunto abierto llegamos a que un conjunto es abierto si y solo si es entorno de todos sus puntos.

El entorno reducido de un punto a es un conjunto de la forma V\a (todos los puntos de V menos el punto a) donde V es entorno de a. ¿Y esto para qué? Pues bien, este concepto se utiliza a la hora de estudiar límites, donde lo que importa son los alrededores del punto y no el punto en sí.

La topología de un espacio métrico (E,d) viene dada por la familia de todos los conjuntos abiertos y una base para dicha topología estará formada por la familia de bolas abiertas {B(x,r); x∈E; r>0}.

Si (E,||·||) es un espacio normado, la topología de E es la de la métrica asociada a esa norma. La topología de E quedará denotada por ζ||·||.

Toca una definición: Sea M un subconjunto de un e.m. (E,d), se dice que x∈E:

es interior a M, x∈M^o, si existe r>0 tal que B(x,r)⊂M.
es adherente a M, x∈M| , si para cada r>0, B(x,r)∩M≠∅.

Al conjunto M| se le llama cierre o clausura de M, a M^o, interior de M.

Vamos ahora a por una proposición: Sea (E,d) un espacio métrico. Un subconjunto G de E es abierto si y solo si G=G^o, y un subconjunto F es cerrado si y solo si F=F|.
Además, el interior de un conjunto M es el mayor conjunto abierto contenido en M, y su clausura es el menor conjunto cerrado que contiene a M.

Veamos cómo marcha la cosa con un ejemplo. Consideremos el subconjunto B=[0,1]. B^o=(0,1). No están incluidos el 0 y el 1, puesto que si hacemos una bola (en este caso se trataría de un intervalo) con centro en 0 o en 1, no estará toda ella en B. Por otro lado, B|=B.

Pasamos a demostrar las dos últimas líneas de la proposición:

Supongo G subconjunto abierto. Es claro que G^o⊂G, pues los puntos de G^o, por definición, son puntos de G. Probemos el recíproco.
Considero x∈G. Como G es abierto puedo hacer una bola de centro x y radio ε contenida en G, pero todo lo que hay dentro de G son puntos interiores, luego G⊂G^o. Hemos llegado a que G=G^o.
Supongo F subconjunto cerrado. Es claro que F⊂F|, pues evidentemente la intersección de puntos que están en F con F no es el vacío. Luego, como mínimo, la adherencia es el propio subconjunto. Probemos que F|⊂F.
Sea x∈F| y x∉F. Como F es cerrado, E\F es abierto y podemos construir una bola B(x,r)⊂E\F (complementario de F). Pero resulta que x∈F|, y esto quiere decir que B(x,r)∩F≠∅. Estaríamos diciendo que F y su complementario tienen puntos en común, por lo que llegamos a una contradicción. Esto es, F|⊂F, y, por tanto podemos decir que F=F|.

Y esta fue la lección de hoy.

Espacios normados. Producto interior.

2009-09-29T19:03:00.008+02:00

Un espacio normado (E, ||.||) es un espacio vectorial E y una función ||.||: E-->R, llamada norma (que cumple las propiedades 1.N,2.N y 3.N que vimos ayer). El ejemplo más sencillo de norma lo proporciona el valor absoluto en R.

Ejemplos de espacios normados:

Para x∈Rn definimos ||x||1=∑|xi| desde i=1 hasta n.
Para x∈Rn definimos ||x||∞=máx{|xi|; i=1,...n}.
Sea E={f:[0,1]-->R; f está acotada}. Se comprueba que E es un e.v. con las operaciones usuales de funciones y se define para f∈R, ||f||∞=sup{|f(x)|; x∈[0,1]}.

A las normas de la forma ||·||∞ se las denomina normas del supremo.

Es bastante claro que la norma definida en el punto 3 cumple las propiedades 1.N y 2.N. Veamos si cumple la 3.N (desigualdad triangular).

|(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤||f(x)||∞+||g(x)||∞

||(f+g)(x)||∞≤||f(x)||∞+||g(x)||∞

||(f+g)(x)||∞ no puede ser mayor que ||f(x)||∞+||g(x)||∞ puesto que es la menor de las cotas de |(f+g)(x)|.

En un espacio normado podemos siempre definir una métrica. Si tenemos un espacio (E,||·||), dados u,v∈E definimos d(u,v)=||u-v||. La demostración a partir de la desigualdad de Cauchy-Schuarz de que 3.N implica 3.D nos asegura que d así definida es una métrica en E que se denomina métrica asociada a la norma del espacio.

Veamos que el recíproco no se cumple, es decir, que no todas las métricas en un e.v. provienen de una norma. Pongamos como ejemplo la métrica discreta (explicada ayer):

Supongamos (E,||·||) e.v. normado tal que d(u,v)=||u-v|| es la métrica discreta. Si u=v, d(u,v)=0=||u-v||. Si u es distinto de v, entonces d(u,v)=1=||u-v||. En este último caso, consideremos los vectores 2u y 2v (que siguen siendo distintos). Tenemos entonces d(2u,2v)=1 y ||2u-2v||=2||u-v||=2·1=2. Pero d(2u,2v)=||2u-2v||, con lo que llegamos a un absurdo.

Comentamos también ayer la noción de producto interior. Dado un e.v. E, diremos que una aplicación <·,·>:ExE-->R es un p.i. de E si verifica las propiedades 1.P, 2.P y 3.P.

Un ejemplo de espacio con la aplicación producto interior es el siguiente: En el e.v. de las funciones continuas en el intervalo [0,1] definimos el producto interior =∫₀¹f(x)g(x)dx. Probaremos que, efectivamente, se trata de un p.i:

2.P es inmediata y 3.P resulta de la linealidad en las integrales. Demostremos 1.P, esto es, que i<if,if>e≥0 y queif<if,if>e=0 si y solo si f=0.
Lo primero se prueba así: =∫₀¹f ²(x)dx≥∫₀¹0dx=0.
Si f=0 es claro que i<if,if>e=0. Vamos a demostrar el recíproco.
Partimos de que i<if,if>e=0. Supongamos que existe x0∈[0,1] tal que f(x0) es distinto de 0. Tomamos ε=|f(x0)|/2>0. Por ser f continua sabemos que existe δ>0 tal que si x∈[x0-δ,x0+δ] entonces |f(x)-f(x0)|≤ ε (no es un menor estricto debido a que el intervalo [x0-δ,x0+δ]es cerrado). ||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|≤ ε, es decir, -ε≤|f(x)|-|f(x0)|≤ ε y de aquí deducimos que |f(x)|>ε. Por la monotonía de la integral, al ser f²(x)≥0, para todo x∈[0,1] tenemos: 0=∫₀¹f ²(x)dx≥∫f ²(x)dx [entre x0-δ y x0+δ]≥2δε² >0, y esto es una contradicción.

Mañana más.

Espacios métricos. Producto interior

2009-09-28T20:02:00.007+02:00

.
A partir de ahora trabajaremos en Rn. A los elementos de Rn los denominaremos puntos o vectores (estarán en negrita).

En primer lugar definiremos 3 conceptos fundamentales:

Norma: ||X||=sqrt $Σ$ (Xi)²
Distancia: d(X,Y)=||X-Y||= sqrt $Σ$ (Xi-Yi)²
Producto interior (o escalar): <X,Y>= $Σ$ Xi·Yi

Pasamos a enunciar sus respectivas propiedades.

N- ||X||≥0 y es 0 si, y solo si X=0.
N- ||a·X||=a·||X|| con a=constante.
N- ||X+Y||≤||X|| +||Y|| (Des. Triangular).

D- d(X,Y)≥0 y es 0 si, y solo si X=Y.
D- d(X,Y)= d(Y,X).
D- d(X,Y)≤ d(X,Z)+ d(Z,Y) (Des. Triangular).

P- <X,X>≥0 y es 0 si, y solo si X=0.
P- <X,Y>= <Y,X>.
P- ·X+b·Y,Z>= a·<X,Z>+ b·<Y,Z>.

Las propiedades que quizás son sean muy obvias son la 3.N y la 3.P, y las vamos a demostrar probando previamente la desigualdad de Cauchy-Schuarz:

|<X,Y>|≤||X||·||Y||

Supongamos X,Y distintos de 0, pues si alguno es 0 está claro que se cumple la desigualdad (0=0). Tenemos entonces que <X,X>>0 y <Y,Y>>0. Para cualquier constante a se cumple lo siguiente:
0≤<a·X+Y,a·X+Y>= <a·X,a·X+Y>+<Y,a·X+Y>= <a·X,a·X>+<a·X,Y>+<Y,a·X>+<Y,Y>= a²<X,X>+2a<X,Y>+<Y,Y>
Esto vemos que tiene pinta de ecuación cuadrática. Si consideramos A=<X,X>, B=2<X,Y> y C=<Y,Y>, ya la tenemos, pues nos queda: 0≤Aa²+Ba+C. Si derivamos esta ecuación llegamos a que -B/2A≤a, en -B/2A tiene un mínimo. A continuación sustituimos en la ecuación: 0≤A(-B/2A)²+ B(-B/2A)+C y nos queda que B²/4A≤C; B²≤4AC.
Sustituimos B,A y C por sus valores originales: B²≤4AC; 4(<X,Y>)²≤4<X,X>·<Y,Y>; (<X,Y>)²≤||X||²·||Y||² Tomo raices cuadradas a ambos lados y nos queda |<X,Y>|≤||X||·||Y||.

Probaremos ahora la propiedad 3.N, haciendo uso de que ||X||²=<X,X>.

||X+Y||²=<X+Y,X+Y>=<X,X>+2<X,Y>+<Y,Y> Como el valor absoluto de un número es siempre mayor o igual que dicho número, <X,Y>≤|<X,Y>| y decimos entonces ||X+Y||²≤<X,X>+2|<X,Y>|+<Y,Y>≤||X||²+2||X||·||Y||+||Y||²=(||X||+||Y||)².
Tomando raices cuadradas obtenemos ya el resultado ||X+Y||≤||X||+||Y||.

Apoyándonos en esta última demostración probaremos la propiedad 3.D:

d(X,Y)=||x-y||=||x-z + z-y||≤||x-z||+||z-y||=d(X,Z)+d(Z,Y).

Una vez conocidos estos conceptos y sus propiedades, podemos empezar a profundizar en el tema de espacios métricos.

Un espacio métrico (M,d) es un conjunto M dotado de una función d:MxM-->R que cumple las propiedades 1.D, 2.D y 3.D. La función d se denomina métrica. Vienen aquí algunos ejemplos de espacios métricos:

R con la métrica d(X,Y)=|X-Y|, que es la que hemos estado tomando nosotros.
La métrica discreta: Se define d(X,Y)=0 si X=Y y d(X,Y)=1 si X es distinto de Y.
Métrica acotada: La función definida por la expresión p(X,Y)=mín{1,d(X,Y)} es una métrica y cumple p(X,Y)≤1 para todo X e Y.

Demostración de 2:

1.D y 2.D es obvio que se cumplen. Vamos a por la 3.D. Supongamos que X es distinto de Y, luego d(X,Y)=1. Si X=Z , Y es distinto de Z (ya que Y es distinto de X) y tendríamos que 1≤0+1, que es cierto. Si X es distinto de Z, tendríamos dos posibles casos, que Y fuese igual a Z, en cuyo caso tendríamos que 1 ≤1+0 (que es cierto), o que Y fuese distinto de Z, 1 ≤1+1 (que también es cierto). Supongamos ahora que X=Y. Entonces hay dos posibilidades: 0≤1+1 ó 0 ≤0+0 (y ambas son ciertas). Queda probada por tanto la propiedad 3.D.

Demostración de 3:

Si d(X,Z) o d(Y,Z) son mayores o iguales que 1 (supongamos que es d(Y,Z)) entonces: p(X,Y)≤1=p(Y,Z)≤p(Y,Z )+p(X,Z ).
Si d(X,Z) y d(Y,Z) son menores que 1: p(X,Y)≤d(X,Y)≤d(X,Z)+d(Y,Z)≤p(X,Z )+p(Y,Z ).

C'est fini. Continúo mañana con los espacios normados.

Ecuaciones integrales

2009-09-26T16:50:00.009+02:00

.
Mencionaré un ejemplo de ecuación integral simplemente para que se sepa que "existen", pues las que vamos a estudiar con profundidad más adelante serán las ecuaciones diferenciales.

Un tipo de ecuación integral es la de Volterra de 2ª especie, que tiene la siguiente forma:

φ(x) = f(x) + λ·∫a^x [φ(t)·K(x,t)] dt

Un ejemplo podría ser el siguiente:

φ(x) = 1/(1+x²) - ∫₀^x [φ(t)·t / (1+x²)] dt

A continuación realizaremos el ejercicio de comprobar que la función φ(x)=1/(1+x²)^3/2es solución de la ecuación dada. Esto servirá para repasar el asunto de la resolución de integrales.

En primer lugar multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por 1+x². De esta forma el 1/(1+x²) dejará de estar dentro de la integral, pero podemos hacerlo ya que la integración es con respecto a t, lo que significa que el 1/(1+x²) que está dentro de la integral actúa como una constante.

Nos queda entonces algo más "bonito" a la vista:

φ(x)·(1+x²) = 1 - ∫₀^x [φ(t)·t] dt

Sustituimos φ(t) por su valor:

φ(x)·(1+x²) = 1 - ∫₀^x [1/(1+t²)^3/2·t] dt

φ(x)·(1+x²) = 1 - ∫₀^x t/(1+t²)^3/2dt

Multiplicamos y dividimos por 2 la integral, de modo que en el numerador nos queda la derivada de lo que está dentro del paréntesis en el denominador.

φ(x)·(1+x²) = 1 - (1/2)·∫₀^x 2t/(1+t²)^3/2dt

Esto nos va a facilitar mucho las cosas, porque para resolver la integral basta con hacer el cambio de variable z=1+t².

z=1+t²
dz=(1+t²)' dt =2t dt

Puesto que se trata de una integral definida no debemos olvidar calcular los nuevos límites de integración:

t=x; a=1+x²
t=0; b=1+0²=1

La ecuación se nos queda de esta forma :

φ(x)·(1+x²) = 1 - (1/2)·∫₀^x 1/z^3/2dz

Multiplico por 2 (para quitarme el 1/2) e integro, que es muy sencillo, puesto que es la integral del polinomio z^-3/2.

2·φ(x)·(1+x²) = 2 - [z^-1/2/(-1/2)] ₁^1+x²

2·φ(x)·(1+x²) = 2 - [(1+x²)^-1/2/(-1/2) - 1^-1/2/(-1/2)]

2·φ(x)·(1+x²) = 2 - [-2·(1+x²)^-1/2 + 2]

2·φ(x)·(1+x²) = 2 + 2·(1+x²)^-1/2 - 2

2·φ(x)·(1+x²) = 2·(1+x²)^-1/2

φ(x)·(1+x²) = (1+x²)^-1/2

φ(x) = (1+x²)^-3/2

Y esto es todo.
.

Topología de la recta R (2)

2009-09-24T19:07:00.012+02:00

.
Hoy vamos a ir a por el primer teorema en condiciones:

Sea K⊂R. Son equivalentes:

K es cerrado y acotado.
Cada sucesión en K tiene una subsucesión convergente hacia un punto de K. (K es sucesionalmente compacto).
Cada cubrimiento abierto de K tiene un subrecubrimiento finito (K es compacto).

Demostración:

Primero probaremos que 1 implica 2.

Consideramos Xn⊂K una sucesión. Como K es un conjunto acotado (por hipótesis), la sucesión contenida en él es también acotada y podemos hacer uso del Teorema de Bolzano-Weierstrass, que nos dice que en esas condiciones existe una subsucesión (Xnk) de (Xn) que converge hacia un cierto x∈R.
Queda demostrar que dicho x está en K. Supongamos que x∉K, es decir, x∈K^c que es abierto (por ser K cerrado). Por ser abierto tiene que existir ε>0 tal que (x-ε, x+ε)⊂K^c. Dado dicho ε, existirá k0∈N tal que si k>k0 d(Xnk,x)≤ε (Es decir, a partir del término k0 todos los términos de la subsucesión estarán en B(x,ε) ). Esto contradice el hecho de que la subsucesión está en K, que es algo que ya hemos demostrado, luego el punto al que converge Xnk está en K.

A continuación vamos a probar que 2 implica 1.

Probamos en primer lugar que K está acotado. Si no lo fuese, para cualquier n existiría Xn∈K con |Xn|>n. Por hipótesis podemos encontrar una subsucesión Xnk convergente a un punto de K, y por ser convergente es acotada, por lo que entramos en una contradicción. K es por tanto acotado.
Veamos que K es cerrado. Si no lo fuese, K^c sería cerrado por lo que existiría algún x∈K^c tal que B(x,ε) no está contenido en K^c para cualquier ε>0. Es decir, que hay puntos en el intervalo (x-ε, x+ε) que están en K. Si tomamos ε=1/n, para cada n existirá yn∈K con d(yn,x)<1/n, o lo que es igual, yn⊂(x-1/n,x+1/n). De la sucesión de puntos (yn) podemos encontrar una subsucesión (ynk) convergente a un punto y de K (hipótesis). Pero resulta que la sucesión (yn) converge a x, pues cuanto mayor es n, menor es la distancia entre los términos de la sucesión y x. Como (ynk) es subsucesión de yn, también converge a x. Como el límite de una sucesión (en este caso subsucesión) es único llegamos a que x=y. Luego x está en K, que es una contradicción. Concluimos que K entonces tiene que ser cerrado.

Demostración de que 3 implica 1.

Primero vemos que K es acotado. Sea x0∈K. Es claro que la familia {B(x0,n):n∈N} cubre a K (en realidad cubre toda la recta de números reales). Por hipótesis existen n1,n2...nk∈N, cubrimiento finito de K, es decir, K⊂∪B(x0,ni) con i=1,...k. Sea n0 el máximo n, K estará contenido en el intervalo (x0-n0, x0+n0), luego estará acotado.
Veamos que K es cerrado (que equivale a demostrar que K^c es abierto. Sea x∈K^c. Para cada y∈K consideramos ρy>0 y ry>0 tales que B(x,ρy)∩B(y,ry)=∅ (Para asegurarme de que cubro K sin llegar a coger a x hago ry=|x-y|/3). Es claro que K está contenido en la unión de los intervalos (y-ry, y+ry). Existirá por tanto un número finito de estos intervalos en el que K estará contenido (por hipótesis). Sea ρ el mínimo de los ρyi, entonces B(x,ρ)⊂K^c. Y esto se cumple para todo x∈K^c. K^c es entorno de todos sus puntos (tomando ε=ρ) lo que significa que K^c es abierto. Veámoslo: Si z∈B(x,ρ)∩K entonces z∈B(yi,ryi) para algún i y z∈B(x,ρyi)⊂B(x,ρ). Pero esto es una contradicción pues partimos de que B(x,ρy)∩B(y,ry)=∅. Por lo tanto K^c es abierto (ergo K es cerrado).

Falta una última demostración: 1 implica 3.

Como K es acotado, ∃ M>0 tal que K⊂[-M,M], que es compacto (es un caso particular del [a,b], que ya está demostrado). Sea (Gi) un cubrimiento de K, podremos cubrir [-M,M] con la unión de los (Gi) y K^c, y por ser K cerrado, esta unión es un cubrimiento abierto de [-M,M]. Por ser [-M,M] compacto podemos encontrarle un cubrimiento finito: [-M,M]⊂ ∪Gi∪K^c (If⊂I, i⊂If). Y con esto llegamos a que Gi, que es finito, cubre K, que es justamente lo que se quería probar.

#Creo que está claro que no es necesario demostrar la doble implicación entre 2 y 3. 2⇒3 equivale a 2⇒1 ⇒3. 3⇒2 equivale a 3⇒ 1⇒ 2.

Hoy fue una lección más dura.

Topología de la recta R

2009-09-23T17:08:00.039+02:00

La topología de R es la familia ζ de todos los conjuntos abiertos de R y sus propiedades son:

ø∈ζ, R∈ζ.
La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

ø y R son conjuntos abiertos pues son entorno de todos sus puntos.

Demostramos la segunda propiedad de esta forma: Sean {Gi} los conjuntos abiertos contenidos en la familia ζ, la unión del número de conjuntos que yo quiera(unión arbitraria) será también un conjunto abierto de la familia, esto es, g =∪Gi ∈ζ. Dado x∈ g (es decir, x está en la unión), por tanto tiene que existir algún i tal que x∈Gi, y como Gi∈g entonces x∈ζ, esto es, los puntos de la unión están en la familia de conjuntos abiertos, luego dicha unión es también un conjunto abierto.

Demostración de la propiedad 3. Defino G = G1∩G2. Sea x∈G: Como x∈G1, ∃ ε1>0 tal que (x-ε1, x+ε1)⊆ G1. Como x∈G2, ∃ ε2>0 tal que (x-ε2, x+ε2)⊆ G2. Como quiero que esté en la intersección, cojo el imenor ε de entre ε1 y ε2. De esta forma me aseguro que el intervalo (x-ε1, x+ε1) va a estar contenido en G.

Pasamos a definir los conjuntos cerrados. Un conjunto F es cerrado si su complementario Fc ≡ R\F es abierto. La familia de todos los conjuntos cerrados de R la denotamos por ϝ y cumple lo siguiente:

ø∈ϝ y R∈ϝ
La intersección arbitraria de miembros de ϝ pertenece a ϝ.
La unión de un número finito de miembros de ϝ pertenece a ϝ.

ø y R son cerrados porque sus complementarios, R y ø respectivamente, son abiertos. Estas propiedades se pueden deducir de las propiedades de la topología de R.

Continuamos con el concepto de cubrimiento abierto. Una familia de conjuntos {Gi} de R es un cubrimiento abierto de K⊂R si todos los conjuntos Gi son abiertos y K está contenido en la unión de todos ellos, esto es, para todo x∈K ∃ i∈I (existe algún índice) tal que x∈Gi (x está contenido al menos en uno de ellos).

Otro nuevo concepto es el de conjunto compacto. Un conjunto K diremos que es compacto si para cada cubrimiento abierto de K existe un subconjunto finito de índices (If ⊂ I ) tal que K ∈∪Gi (con i∈If). Es decir, si K se puede cubrir con un número finito de conjuntos abiertos.

Vamos a demostrar que el intervalo [a,b] es compacto.

Sea (Gi) con i∈I un cubrimiento abierto de [a,b]. Definimos el conjunto A:={x∈[a,b] tal que [a,x] es cubierto por una cantidad finita de elementos de (Gi)}.
A es no vacío, pues contiene a a, y al estar acotado superiormente por b sabemos que existe α=supremo(A). α va a ser menor o igual que b, ya que es la menor de las cotas superiores. Probaremos que α∈A y que α=b, con lo que quedará demostrado el resultado. Si α está en A el intervalo [a,α] (por la definición de A) estará cubierto por una cantidad finita de elementos de (Gi). Y si ese máximo es igual a b, estará cubierto el intervalo [a,b], que es lo que queremos demostrar.
1º α∈A. Existe Gj de forma que α∈Gj y como éste es abierto, ∃ ε>0 tal que (α-ε,α+ε) es tá contenido en Gj. Como α-ε no es cota superior de A, ∃ x∈A tal que α-ε<x≤α y [a,x], por pertenecer a A, está cubierta por una cantidad finita de elementos (Gi). Por tanto, ∪Gi∪Gj cubre a [a,α] (i∈If).
2º α=b. Si fuese α()<ib iidadoiiεd>f0 se cumple que (α-ε,α+ε) está contenido en Gj y podemos tomar iiεdademás que α+ε()<ib i. El intervalo [a,iα+iε(/2] está cubierto por una cantidad finita de miembros de (Gi) (esto es así porque como α(∈A, el intervalo [a,iαi] está cubierto por una cantidad finita, y si añadimos Gj cubriremos [a,iα+iε(/2]). Tenemos entonces que iα+iε(/2∈A, lo que implica que α()no es cota superior de A, y esto es absurdo puesto que partimos de que iαi es supremo de A. Luego iαi=iibi.

Y así concluye la primera demostracioncilla medio importante.

Introduciendo la topología de la recta real

2009-09-22T19:46:00.006+02:00

.
La recta de los números reales, es decir, (R, +, ·, ≤) es un cuerpo totalmente ordenado. Además, todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene supremo (la menor de las cotas superiores).

Recordaré ahora algo fundamental: el valor absoluto de un número real positivo x coincide con x. Si es negativo, es igual a -x. Algunas de sus propiedades son:

|x| = 0 si y sólo si x 0.
|x+y| ≤ |x|+ y| (Desigualdad triangular)
|x·y| = |x|·|y|

x e y siempre números reales.

Podemos ya definir la aplicación métrica o distancia: d(x,y) = |x-y|. Esta aplicación cumple las siguiente propiedades:

d(x,y) = 0 si, y sólo si x=y.
d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).
d(x,y) = d(y,x)

Las propiedades 1 y 3 están claritas. La propiedad 2 viene directamente de la desigualdad triangular aplicando la definición de métrica:

d(x,z) + d(z,y) = |x-z|+|z-y| ≥ |x-z + z-y| = |x-y| = d(x,y)

Al considerar la recta real junto con esta aplicación métrica, (R,d), tenemos un espacio métrico completo, esto es, toda sucesión de Cauchy es convergente -en una sucesión de Cauchy existe un término a partir del cual los siguientes términos están "muy próximos" entre sí. En una sucesión convergente existe un término a partir del cual los términos siguientes están muy próximos a un punto, el límite-.

Toca ahora definir el concepto de entorno en R. Sea x un número real, un entorno de x es un conjunto V contenido en R tal que: existe ε >0 con B(x,ε):=(x-ε ,x+ε) contenido en V. Para que se vea más claro podemos decir que un entorno de x es un intervalo de la recta real tal que podemos tomar un intervalito más pequeño de centro x y radio ε de modo que todos los puntos de dicho intervalo van a estar dentro de dicho conjunto.

---(-----(---x---)------------)-- El conjunto (a,b) es entorno de x.

------(--[a---)------------)----- (a es el límite izquierdo del intervalo) El conjunto [a,b) no es entorno de a, pues por pequeño que sea el ε, será mayor que cero, luego el intervalito se saldrá siempre del conjunto [a,b), y esto quiere decir que hay puntos del intervalito que no estarán contenidos en el conjunto.

Decimos que un conjunto es abierto si es entorno de todos sus puntos. En el primer caso es así, en el segundo no, porque a es justo el límite del conjunto, luego para cualquier ε que cojamos se nos quedará parte del intervalito fuera del conjunto.

Todo por hoy.