Vamos a comenzar fuerte con una de las formulaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass: Sea K⊂(E,d) un conjunto compacto. Entonces
- K es cerrado.
- K es acotado.
- Si F⊂K es cerrado, F es compacto.
- 1. Consideramos G=E\K. Probaremos que G es abierto. Sea x∈G y los conjuntos abiertos Un={y∈E : d(x,y)>1/n para todo n}=Bc(x,1/n). Es decir, en Un están todos los puntos y que están fuera de la bola B(x,1/n). Vemos que a mayor n, esta bola es más pequeña, luego Un es cada vez más grande.
- Como todos los y∈K son distintos de x, tenemos que d(x,y)>0, habrá por tanto algún n tal que y∈Un. Así, K⊂∪Un (desde n=1 hasta infinito). Como K es compacto se puede extraer un cubrimiento finito, así que K⊂Un1∪Un2∪...Unk.
- Sea ahora N el máximo de los n1, n2...nk. U=Bc(x,1/N) es el mayor de los Un, luego es claro que K⊂U. Pero entonces, como G es el complementario de K, y B(x,1/N) el complementario de U, tenemos que B(x,1/N)⊂G. Esto quiere decir que para todo x puedo encontrar una bola con centro x que esté contenida en G, esto es, G es abierto (K es cerrado).
- 2. Sea x0∈K, la familia {B(x0,n) con n∈N} es un cubrimiento abierto de K. Como K es compacto ha de tener un cubrimiento finito, K⊂∪B(x0,nj) (desde k=1 hasta j=k). Sea M el máximo de los n1,n2...nn, entonces K⊂B(x0,M), luego diam(K)≤2M, esto es, K está acotado.
- 3. Sea {Ui} un cubrimiento abierto de F. Consideramos G=E\F, que es abierto (por ser F cerrado). Entonces [{Ui,G} cubre a K. Por ser K compacto podemos extraer un cubrimiento finito de K, que será de la forma {Ui1,Ui2...Uin,G}. Luego{Ui1,Ui2...Uin} cubre a F. F es compacto.
Proposición: Sea K⊂(E,d) un conjunto sucesionalmente compacto. Entonces:
- K es cerrado.
- K es acotado.
- Si F⊂K es cerrado, F es compacto.
Otras tantas pruebiñas:
- 1. Veamos que K es cerrado. Si no lo fuese, Kc sería cerrado por lo que existiría algún x∈Kc tal que B(x,ε) no está contenido en Kc para cualquier ε>0. Es decir, que hay puntos en el intervalo (x-ε, x+ε) que están en K. Si tomamos ε=1/n, para cada n existirá yn∈K con d(yn,x)<1/n, o lo que es igual, yn⊂(x-1/n,x+1/n). De la sucesión de puntos (yn) podemos encontrar una subsucesión (ynk) convergente a un punto y de K (hipótesis). Pero resulta que la sucesión (yn) converge a x, pues cuanto mayor es n, menor es la distancia entre los términos de la sucesión y x. Como (ynk) es subsucesión de yn, también converge a x. Como el límite de una sucesión (en este caso subsucesión) es único llegamos a que x=y. Luego x está en K, que es una contradicción. Concluimos que K entonces tiene que ser cerrado.
- 2. Si no fuese acotado, para cualquier n existiría Xn∈K con |Xn|>n. Por hipótesis podemos encontrar una subsucesión Xnk convergente a un punto de K, y por ser convergente, es acotada, por lo que entramos en una contradicción. K es por tanto acotado.
- 3. Probaremos que F está acotado. Si no lo fuese, para cualquier n existiría Xn∈F con |Xn|>n. Consideramos Xn⊂F. Como Xn también está contenida en K, sabemos que existe una subsucesión Xnk⊂K que converge a x∈K. Pero como (Xnk)⊂(Xn), Xnk⊂F, y como F es cerrado, Xnk converge a un punto de F (que coincide con x, pues el límite es único). Contradicción, porque si es convergente, es acotada. Luego F es acotado, y por ser también cerrado, es compacto.
2 comentarios:
Además, de Murcia, por lo que he podido ver. Soy amigo de un par de chicos de allí que vinieron a estudiar a la Complutense (en Madrid), pero este es su segundo año aquí, así que me imagino que no les conocerás.
Yo estoy en quinto, pretendo acabar este año con astrofísica y, ya que me he tocado las narices los tres primeros años y en cuarto vi que mi expediente podía subir, seguramente eche un año más y haga teórica también.
Por cierto, tengo una duda existencial...para escribir las ecuaciones en tu blog, utilizas LaTeX?o copias los símbolos de algún editor tipo MathType?
Un saludo!
Por supuesto que puedes ponerte en contacto conmigo. Mi mail es:
vagabundodelasestrellas@gmail.com
Será un placer conocer a otra protofísica ;)
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