ø∈ζ, R∈ζ.
La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
ø y R son conjuntos abiertos pues son entorno de todos sus puntos.
Demostramos la segunda propiedad de esta forma: Sean {Gi} los conjuntos abiertos contenidos en la familia ζ, la unión del número de conjuntos que yo quiera(unión arbitraria) será también un conjunto abierto de la familia, esto es, g =∪Gi ∈ζ. Dado x∈ g (es decir, x está en la unión), por tanto tiene que existir algún i tal que x∈Gi, y como Gi∈g entonces x∈ζ, esto es, los puntos de la unión están en la familia de conjuntos abiertos, luego dicha unión es también un conjunto abierto.
Demostración de la propiedad 3. Defino G = G1∩G2. Sea x∈G: Como x∈G1, ∃ ε1>0 tal que (x-ε1, x+ε1)⊆ G1. Como x∈G2, ∃ ε2>0 tal que (x-ε2, x+ε2)⊆ G2. Como quiero que esté en la intersección, cojo el imenor ε de entre ε1 y ε2. De esta forma me aseguro que el intervalo (x-ε1, x+ε1) va a estar contenido en G.
Pasamos a definir los conjuntos cerrados. Un conjunto F es cerrado si su complementario Fc ≡ R\F es abierto. La familia de todos los conjuntos cerrados de R la denotamos por ϝ y cumple lo siguiente:
ø∈ϝ y R∈ϝ
La intersección arbitraria de miembros de ϝ pertenece a ϝ.
La unión de un número finito de miembros de ϝ pertenece a ϝ.
ø y R son cerrados porque sus complementarios, R y ø respectivamente, son abiertos. Estas propiedades se pueden deducir de las propiedades de la topología de R.
Continuamos con el concepto de cubrimiento abierto. Una familia de conjuntos {Gi} de R es un cubrimiento abierto de K⊂R si todos los conjuntos Gi son abiertos y K está contenido en la unión de todos ellos, esto es, para todo x∈K ∃ i∈I (existe algún índice) tal que x∈Gi (x está contenido al menos en uno de ellos).
Otro nuevo concepto es el de conjunto compacto. Un conjunto K diremos que es compacto si para cada cubrimiento abierto de K existe un subconjunto finito de índices (If ⊂ I ) tal que K ∈∪Gi (con i∈If). Es decir, si K se puede cubrir con un número finito de conjuntos abiertos.
Vamos a demostrar que el intervalo [a,b] es compacto.
-
Sea (Gi) con i∈I un cubrimiento abierto de [a,b].
Definimos el conjunto A:={x∈[a,b] tal que [a,x] es cubierto por una cantidad finita de elementos de (Gi)}. -
A es no vacío, pues contiene a a, y al estar acotado superiormente por b sabemos que existe α=supremo(A). α va a ser menor o igual que b, ya que es la menor de las cotas superiores.
Probaremos que α∈A y que α=b, con lo que quedará demostrado el resultado. Si α está en A el intervalo [a,α] (por la definición de A) estará cubierto por una cantidad finita de elementos de (Gi). Y si ese máximo es igual a b, estará cubierto el intervalo [a,b], que es lo que queremos demostrar. -
1º α∈A. Existe Gj de forma que α∈Gj y como éste es abierto, ∃ ε>0 tal que (α-ε,α+ε) es
tá contenido en Gj. Como α-ε no es cota superior de A, ∃ x∈A tal que α-ε<x≤α y [a,x], por pertenecer a A, está cubierta por una cantidad finita de elementos (Gi). Por tanto, ∪Gi∪Gj cubre a [a,α] (i∈If). - 2º α=b. Si fuese α
()<ib iidadoii εd>f0 se cumple que (α-ε,α+ε) está contenido en Gj y podemos tomarii εdademás que α+ε()<ib i. El intervalo [a,i α+iε(/2] está cubierto por una cantidad finita de miembros de (Gi) (esto es así porque como α( ∈A, el intervalo [a,iαi] está cubierto por una cantidad finita, y si añadimos Gj cubriremos [a,iα+iε(/2]). Tenemos entonces que iα+iε(/2 ∈A, lo que implica que α()no es cota superior de A, y esto es absurdo puesto que partimos de que iαi es supremo de A. Luego iαi=iibi.
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