miércoles, 23 de septiembre de 2009

Topología de la recta R

La topología de R es la familia ζ de todos los conjuntos abiertos de R y sus propiedades son:
  1. ø∈ζ, Rζ.

  2. La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

  3. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

ø y R son conjuntos abiertos pues son entorno de todos sus puntos.

Demostramos la segunda propiedad de esta forma: Sean {Gi} los conjuntos abiertos contenidos en la familia ζ, la unión del número de conjuntos que yo quiera(unión arbitraria) será también un conjunto abierto de la familia, esto es, g =Gi ∈ζ. Dado xg (es decir, x está en la unión), por tanto tiene que existir algún i tal que x∈Gi, y como Gi∈g entonces xζ, esto es, los puntos de la unión están en la familia de conjuntos abiertos, luego dicha unión es también un conjunto abierto.

Demostración de la propiedad 3. Defino G = G1∩G2. Sea xG: Como x∈G1, ∃ ε1>0 tal que (x1, x1)⊆ G1. Como x∈G2, ∃ ε2>0 tal que (x2, x2)⊆ G2. Como quiero que esté en la intersección, cojo el imenor ε de entre ε1 y ε2. De esta forma me aseguro que el intervalo (x1, x1) va a estar contenido en G.


Pasamos a definir los conjuntos cerrados. Un conjunto F es cerrado si su complementario Fc ≡ R\F es abierto. La familia de todos los conjuntos cerrados de R la denotamos por ϝ y cumple lo siguiente:

  1. ø∈ϝ y R∈ϝ

  2. La intersección arbitraria de miembros de ϝ pertenece a ϝ.

  3. La unión de un número finito de miembros de ϝ pertenece a ϝ.

ø y R son cerrados porque sus complementarios, R y ø respectivamente, son abiertos. Estas propiedades se pueden deducir de las propiedades de la topología de R.


Continuamos con el concepto de cubrimiento abierto. Una familia de conjuntos {Gi} de R es un cubrimiento abierto de K⊂R si todos los conjuntos Gi son abiertos y K está contenido en la unión de todos ellos, esto es, para todo xK iI (existe algún índice) tal que xGi (x está contenido al menos en uno de ellos).


Otro nuevo concepto es el de conjunto compacto. Un conjunto K diremos que es compacto si para cada cubrimiento abierto de K existe un subconjunto finito de índices (If ⊂ I ) tal que KGi (con i∈If). Es decir, si K se puede cubrir con un número finito de conjuntos abiertos.

Vamos a demostrar que el intervalo [a,b] es compacto.

  • Sea (Gi) con i∈I un cubrimiento abierto de [a,b]. Definimos el conjunto A:={x∈[a,b] tal que [a,x] es cubierto por una cantidad finita de elementos de (Gi)}.

  • A es no vacío, pues contiene a a, y al estar acotado superiormente por b sabemos que existe α=supremo(A). α va a ser menor o igual que b, ya que es la menor de las cotas superiores. Probaremos que α∈A y que α=b, con lo que quedará demostrado el resultado. Si α está en A el intervalo [a,α] (por la definición de A) estará cubierto por una cantidad finita de elementos de (Gi). Y si ese máximo es igual a b, estará cubierto el intervalo [a,b], que es lo que queremos demostrar.

  • 1º α∈A. Existe Gj de forma que α∈Gj y como éste es abierto, ∃ ε>0 tal que (α-ε,α+ε) es tá contenido en Gj. Como α-ε no es cota superior de A, ∃ x∈A tal que α-ε<x≤α y [a,x], por pertenecer a A, está cubierta por una cantidad finita de elementos (Gi). Por tanto, ∪Gi∪Gj cubre a [a,α] (i∈If).

  • α=b. Si fuese α()<ib iidadoiiεd>f0 se cumple que (α-ε,α+ε) está contenido en Gj y podemos tomar iiεdademás que α+ε()<ib i. El intervalo [a,iα+iε(/2] está cubierto por una cantidad finita de miembros de (Gi) (esto es así porque como α(∈A, el intervalo [a,iαi] está cubierto por una cantidad finita, y si añadimos Gj cubriremos [a,iα+iε(/2]). Tenemos entonces que iα+iε(/2∈A, lo que implica que α()no es cota superior de A, y esto es absurdo puesto que partimos de que iαi es supremo de A. Luego iαi=iibi.
Y así concluye la primera demostracioncilla medio importante.

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