sábado, 7 de noviembre de 2009

Aplicaciones Lipschitzianas. Conexión, continuidad y convergencia de aplicaciones.

Las funciones lipschitzianas son un ejemplo de funciones uniformemente continuas.

Definición: Decimos que f:M⊂(E,d)-->(F, ρ) es lipschitziana con constante de lipschitz c>0 si para cada par de puntos x, y de M se cumple ρ(f(x),f(y))≤c·d(x,y).
Toda aplicación lipschitziana es uniformemente continua (dado ε>0, basta con tomar δ=ε/c).

Ejemplos.
  1. Si f:(a,b)-->R es derivable con derivada acotada, es decir, existe M>0 tal que |f '(x)|≤M para x,y∈(a,b) tenemos |f(x)-f(y)|=|f '(e)|·|x-y|≤M|x-y|.
  2. Las aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados; si T⊂K(E,F), T es lipschitziana con constante de lipschitz precisamente ||T||.
Una aplicación f:(E,d)-->(E,d) se dice que es contractiva si es lipschitziana con constante de lipschitz 0<1. style="font-weight: bold;">Teorema del punto fijo de Banach: Supongamos que (E,d) es un e.m. completo y que f:E-->E es contractiva. Entonces f tiene un único punto fijo, es decir, existe x∈E tal que f(x)=x.

(No pongo la demostración porque es bastante farragosa de escribir a ordenador).

Conexión y continuidad:

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e.m., M⊂E un conjunto conexo y f:M--->F una aplicación continua. Entonces f(M) es un subconjunto conexo de F.

Corolario: R2 no puede ser homeomorfo a R (recordemos que tendríamos un homeomorfismo si f:R2-->R fuese biyectiva y tanto f como su inversa fuesen continuas).

Prueba:
Si existiera un homeomorfismo f:R2-->R, la imagen del conjunto R2\{0}, que es conexo, tendría que ser conexa. Pero f(R2\{0})=R\{f(0)} no es conexo.

Otro corolario: Si f:
M⊂(E,d)-->R es continua y M es conexo, entonces f(M) tiene la propiedad de los valores intermedios, esto es, si a,b∈M y e es un número real entre f(a) y f(b), entonces existe c∈M tal que f(c)=e.

Convergencia de aplicaciones.

Sea T un conjunto no vacío y (F, ρ) un espacio métrico. Una sucesión de funciones fn:T-->F converge puntualmente cuando para cada t perteneciente a T la sucesión (fn(t)) converge en (F,ρ). En este caso el límite puntual de la sucesión es la aplicación f:T-->F definida por f(t):=lim fn(t) cuando n tiende a infinito.
La definición de convergencia puntual equivale a la condición: Para cada t perteneciente a T y cada ε>0 existe un número natural n(ε,t) tal que si n>n(ε,t) entonces ρ(fn(t),f(t))<ε.

Definimos una convergencia más fuerte:
Sea T un conjunto no vacío y (F, ρ) un espacio métrico. Una sucesión de funciones fn:T-->F converge uniformemente hacia f:T-->F si para todo ε>0 existe n(ε) tal que si n>n(ε) entonces ρ(fn(t),f(t))<ε para todo t perteneciente a T.

Teorema:
Sean (E,d) y (F, ρ) e.m., y sea fn:T-->F una sucesión de funciones continuas convergente uniformemente a f:[a,b]--->R. Entonces f es integrable y tenemos que el límite de la integral de fn(x) entre a y b es igual que la integral entre a y b de f(x).

(No pongo la demostración por lo mismo de antes).

Y ya.

jueves, 5 de noviembre de 2009

Aplicaciones lineales

Vamos ahora a estudiar las aplicaciones lineales en espacios normados.

Sean E y F dos e.v. Una aplicación T:E-->F se dice que es lineal si T(a·x+b·y)=a·T(x)+b·T(y). (Siendo a y b números reales y x,y∈E.

Proposición: Sean (E,||·||) y (F, ||·||') e. normados y T:E-->F una aplicación lineal, son equivalentes:
  1. T es continua.
  2. T es continua en 0.
  3. Existe c>0 tal que ||T(x)||'≤c·||x|| para todo x∈E.
Si E es de dimensión finita, toda aplicación lineal T:E-->F es continua.
Pruebas:
  • 3 implica 1: ||T(y)-T(x)||'=||T(y-x)||' (por la linealidad).
  • ||T(y-x)||'≤c·||y-x||. Dado ε>0 podemos encontrar δ>0 tal que si ||y-x||<δ ||T(y)-T(x)||'<ε. Basta con elegir δ=ε/c. ||T(y-x)||'ε/c=ε.
  • 1 implica 2 está claro, pues si T es continua, en particular es continua en 0.
  • 2 implica 3. Tomando ε=1, existe δ>0 tal que si ||y||<δ entonces ||T(y)||'=||T(y)-T(0)||'<1.
  • La constante c=2/δ cumple la desigualdad del punto 3. Esto es evidente si x=0. Supongamos x distinto de 0. Consideramos y=x/(c·||x||), y tenemos que ||y||=1/c=δ/2<δ, entonces 1<||T(y)||=||T(x)||'/(c·||x||)--->||T(x)||'≤c·||x||.
  • Ahora, si el espacio E es de dimensión finita, dimE=n, fijamos una base {u1,...un} de E y definimos la aplicación S: Rn--->E mediante S(x1,...xn)=sum(xi·ui).
  • Para cada x∈E, x=sum(xi·ui), definimos la norma en E ||x||*=sum|xi|=||S-1:(x)||1, que es equivalente a la inicial ||·|| (por ser de dimensión finita).
  • La constante C=máx{||T(uk)||':1≤k≤n} verifica ||T(x)||'=||sum(xi·T(ui))||'=sum(|xi|·||T(ui)||'≤C||x||*. Como se cumple 3, T es continua para la norma ||·||* y por tanto también para ||·||.
Si (E,||·||) y (F, ||·||') son e. normados, el conjunto de aplicaciones lineales continuas T:E-->F, denotado por K(E,F), también es un e.v.

Corolario: Para cada T∈K(E,F), el número ||T||=sup{||T(x)||':||x||≤1} es finito y define una norma sobre K(E,F).
||T(x)||'≤||T||·||x|| para cada x∈E y ||T|| es la mejor constante (la mínima) que cumple la condición 3 de la proposición anterior.

Mañana o al otro más y mejor.

viernes, 30 de octubre de 2009

Funciones continuas definidas en compactos

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. Si K⊂E es compacto y f: K-->F es continua entonces f(K) es compacto.

Vamos a ver dos demostraciones para este teorema (la primera quizás es más elegante):
  • 1. Utilizaremos que un conjunto es compacto si y solo si es sucesionalmente compacto.
  • Sea (yn)⊂f(K) entonces existe (xn)⊂K tal que yn=f(xn). (xn)⊂K sucesionalmente compacto, luego existe (xnk) subsucesión de (xn) convergente a x∈K.
  • Como f es continua, ynk=f(xnk) converge a f(x), luego (ynk) subsucesión de (yn) converge a f(x)∈f(K). f(K) es compacto.
  • 2. Mediante la definición de compacidad. Sea {Vi} cubrimiento abierto de f(K). Como f es continua, existen {Ui} abiertos en (E,d) tales que f-1(Vi)=K∩Ui.
  • Veamos que ∪Ui cubre a K: Si x∈K, f(x)∈f(K), luego f(x)∈{Vi}, luego x∈K∩Ui. Luego todo x∈K queda cubierto por ∪Ui.
  • Como K es compacto hay una cantidad finita de cubrimientos Ui tales que K⊂∪Uik. Y esto implica que f(K) queda cubierto por una cantidad finita de Vi. f(K) es compacto.
Corolario de este teorema: (Teorema de Weierstrass) Toda función real continua, definida en un subconjunto compacto de un e.m. alcanza su máximo y su mínimo absolutos.

Demostración:
  • f(K) es compacto (en R) si y solo si es cerrado y acotado. Como es acotado existe i=ínf{f(x):x∈K} y s=sup{f(x):x∈K.
  • Se tiene que para todo número natural existe (xn)⊂K tal que s-1/nDe aquí vemos que cuando n tiende a infinito, f(xn) tiende a s. Como f(K) es cerrado, toda sucesión convergente de f(K) tiene su límite en f(K), luego s∈f(K), es decir, existe x∈K tal que f(x)=s.
Corolario: Si f:K-->F es continua e inyectiva sobre un compacto K⊂E, entonces la aplicación inversa f-1:Y=f(K)-->K es continua.

Demostración:
  • Sea (yn): yn-->y∈f(K), ¿f-1(yn)-->f-1(y)?
  • Sea xn∈K y x∈K: f(xn)=yn, f(x)=y. Sea z un punto de aglomeración en K de (xn). Existe (xnk)-->z, además, por continuidad, ynk=f(xnk)-->f(z)=y=f(x). Y como f es inyectiva, x=z (porque no puede haber dos puntos de K que tengan la misma imagen). x es el único punto de aglomeración, xn-->x.
Definición: Una aplicación f:(E,d)-->(F,ρ) se dice que es un homeomorfismo si es biyectiva y tanto f como f-1 son funciones continuas.
Podemos decir, a partir de esto y del corolario anterior, que toda aplicación continua e inyectiva, definida en un compacto, es un homeomorfismo sobre su imagen.

Vamos ahora a ver que aportan estos resultados al asunto de las normas.

Teorema: Sobre un espacio vectorial de dimensión finita todas las normas son equivalentes y además dicho espacio es completo.

Prueba:
  • Para empezar veremos que toda norma ||·|| en Rn es equivalente a la euclídea.
  • Sea {e1, e2,..., en} la base canónica de Rn y β=sum||ei||>0 de i=1 hasta i=n. Sea x=(x1,x2,...xn)∈Rn.
  • ||x||=||sum(xi·ei)||≤sum||xi·ei||=sum|xi|·||ei||≤sum||x||2·||ei||=β·||x||2. Luego ||x||≤β·||x||2.
  • Esto implica que la función f:(Rn,||·||2)-->R definida por f(x)=||x|| es continua: Como |f(xn)-f(x)|=|||xn||-||x|||≤||xn-x||≤β||xn-x||2, si xn-->x en ||·||2 entonces f(xn)-->f(x). Y por tanto alcanza un mínimo absoluto sobre el conjunto compacto K={y∈Rn:||y||2=1}, es decir, existe a∈K tal que ||a||≤||y|| (f(a)≤f(y)) para todo y∈K. Llamando α=||a||, como el vector y=x/||x||2∈K (con x≠0), tenemos:
  • α≤||y||=||x||/||x||2------------>α||x||2≤||x||.
Sea E un e. v. de dimensión n. Fijada una base {u1,u2,...un} de E podemos identificar E con Rn mediante el isomorfismo algebraico S:Rn-->E definido así: si x=(x1,x2,...xn)∈Rn entonces S(x1,...xn)=sum(xi·ui).

Si ||·|| y ||·||' son dos normas cualesquiera en E, definimos las siguientes normas: Dado x∈Rn: ||x||s:=||S(x)|| y ||x||'s:=||S(x)||'.
Estas normas son equivalentes en Rn, esto es, existen a,b>0 tales quepara todo x∈Rn a·||x||s≤||x||'s≤b·||x||s si y solo si a·||S(x)||'≤||S(x)||'≤b·||S(x)||'.

Sea y∈E, como S es suprpayectiva existe x∈Rn tal que y=S(x), entonces a·||y||s≤||y||'≤b·||y||.

La completitud en E con cualquiera de sus normas se deduce de la completitud en Rn usando la identificación dada por ||x||s:=||S(x)|| para todo x∈Rn.

The last definition: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. y f:M-->F una aplicación definida en M⊂E. Se dice que f es uniformemente continua cuando para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [x,y∈M, d(x,y)<δ] implica ρ(f(x),f(y))<ε.
Seguro que esta definición nos recuerda mucho a la de continuidad (y es lógico). ¿Dónde está la diferencia? Pues bien, en la continuidad hablamos de puntos concretos (describimos un comportamiento local de la función), en la continuidad uniforme hablamos de todos los puntos del dominio de f (comportamiento global de la función). Una función será uniformemente continua cuando podamos encontrar un δ>0 concreto con el que se cumpla lo dicho en la definición para cualquier pareja de puntos del dominio.

Hay que señalar que la continuidad uniforme implica continuidad, pero el recíproco no es cierto. Ejemplo:
  • Escogemos la función f:(x)=x². Esta función es continua, pero no uniformemente continua, pues conforme nos alejamos del origen (0,0), la distancia entre las imágenes de los puntos aumenta mucho.

  • Vemos que si el dominio fuera un entorno perqueño del origen podríamos encontrar un δ pequeñín que nos sirviera para todos los puntos, pero a medida que nos alejamos del origen el valor de la función cambia bruscamente y las imágenes cada vez están más distantes.
Y para acabar:

Teorema: (Teorema de Heine): Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. y f:M-->F una aplicación continua definida en M⊂E. Si K⊂M es compacto entonces f es uniformemente continua sobre K.

Demostración:
  • Dado ε>0 y x∈K elegimos δx>0 tal que si d(x,y)<δx, para y∈M, tengamos ρ(f(x),f(y))<ε/2. Los conjuntos B(x, δx/2) cubren K y son abiertos. Por tanto, existe un cubrimiento finito B(x1, δx1/2),...,B(xn, δxn/2) que cubre a K.
  • Sea δ=mín{δx1/2,...,δxn/2}. Si y∈K y d(x,y)<δ, existe xi tal que d(x,xi)<δxi/2 (porque las bolas cubren K) y entonces: d(xi,y)≤d(xi,x)+d(x,y)<δxi/2+δ<δxi.
  • Por lo tanto, ρ(f(x),f(y))≤ ρ(f(x),f(xi))+ ρ(f(xi),f(y))<ε/2+ε/2=ε.
Et voilà.

Límites y continuidad (3)

Antes de seguir conviene distinguir que dado A⊂M no es lo mismo decir que f es continua en cada a∈A que decir que f|A es continua. La primera implica la segunda, pero el recíproco es falso. Veamos esto con un ejemplo:
  • Sea A=Q (el conjunto de los números racionales)
  • Sea f(x)=0 si x∈Q y f(x)=1 si x∈R\Q.
  • Entonces tenemos que , como f|A: A=Q-->R, f|A=0 en todo su dominio. Esta función es constante, así que está claro que f|A es continua.
  • En cambio, f: R-->R no es continua en A, pues entre dos puntos racionales siempre hay un irracional y f iría dando saltos del 0 al 1.
  • Vemos así que a la hora de describir el comportamiento de una función es de vital importancia que nos fijemos en el dominio.
Proposición: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y f: M-->F. Son equivalentes:
  1. f es continua.
  2. Para cada abierto V⊂F existe un abierto U⊂E tal que f -1(V)=MU, es decir, la antiimagen de un abierto en F es un abierto relativo en M.
  3. La antiimagen de un cerrado en F es un cerrado relativo en M.
  4. f(A|M)⊂f(A)| para cada A⊂M.

De momento sólo pongo una de las pruebas:
  • 1 implica 2: Sea x∈ f-1(V). Sea y=f(x). Como V es abierto puedo construir una bola B(y,ε)⊂V. Como f es continua, dado ε>0 existe un δ>0 tal que f(B(x,δ)M)⊂B(y,ε)⊂V.
  • U= xf-1(V) B(x,δx) (δx son los distintos δ). UM=f-1(V).
Otra proposición: Si f,g: M⊂(E,d)-->(F,||·||) y alfa:M-->R y existen límx->a f(x), límx->a g(x) y límx->a alfa(x) entonces:
  1. Existe límx->a (f(x)+g(x))=límx->a f(x)+límx->a g(x).
  2. Existe límx->a (alfa(x)·g(x))=límx->a alfa(x)·límx->a g(x).
  3. Si límx->a alfa(x)≠0, existe límx->a (alfa-1(x)·g(x))=(límx->a alfa(x))-1·límx->a g(x).
  4. Si f:E-->Rm, f=(f1,f2...fm) donde f1: E-->R son las funciones coordenadas, entonces f es continua en a si y sólo si cada fi es continua en a.
  5. Si la norma de F es la asociada al producto escalar <·,·>, entonces también existe el límite límx->aii),ig(x)>i=<límx->a f(x), límx->a g(x)>.
Demostración de 5: (tengo que revisarla, que hay algo que no me cuadra).
  • Sea l=límx->a f(x) y k=límx->a g(x). Veamos que<ill,k>es el límite de i<if(xi),g(x)>iiicuando x-->a.
  • |i<if(xi),g(x)>i-i<ill,k>i|=|if(x)i-li,g(x)-k>| ≤||f(x)-l||·||g(x)-k|| (esta última desigualdad es por la desigualdad de Cauchy-Schwarz).
Regla de la cadena: Sean (Ej,d,), 1≤j≤3, tres e. m. y Mj⊂Ej para j=1,2. Sea f: M1-->M2 una aplicación con límite b∈M2 cuando x-->a∈M1'. Si g: M2-->E3 es continua en b entonces existe límx->a g(f(x))=g(b).
Si además a
∈M1 y f es continua en a entonces gof (g compuesta con f) es continua en a.

Sigo en otra entrada.

jueves, 29 de octubre de 2009

Límites y continuidad (2)

Continuamos con el capítulo (aunque hoy será breve).

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y a∈M'. f: M-->F y b∈F. Entonces, límx->a f(x)=b si y solo si para cualquier sucesión (xn)⊂M, con xn distinto de a y lím n-> xn=a se tiene que lím n-> f(xn)=b.

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E. Una aplicación f: M-->F es continua en a∈M cuando para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [para todo x∈M, con d(x,ia)<iδ]ise tiene que ρi(f(x),f(a))i>ε.
En estas condiciones, si además
a∈M', entonces f(a)=límx->a f(x). Diremos que f es continua cuando lo sea en todo su dominio.

Proposición: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E, a∈M y f: M-->F. Son equivalentes:
  1. f es continua en a.
  2. lím n->∞f(xn)=f(a) para cada sucesión (xn) de M convergente a a.
  3. Para cada A⊂M con a⊂A| se cumple f(a)∈f(A)|.
Algunas demostraciones:

  • 2 implica 3. Sea A⊂M, a⊂A|. Entonces existe una sucesión (xn)⊂A tal que xn converge a a. Por hipótesis f(xn) converge a f(a) y esto implica que f(a)∈{f(xn) n∈N}
  • 2 implica 1. Supongamos que f no es continua en a, es decir, existe un ε>0 para todo n∈N tal que existe una sucesión xn⊂B(a,1/n) de modo que f(xn)∉B(f(a)ε). Pero esto contradice nuestra hipótesis. ¡Absurdo!
  • 3 implica 2. Sea (xn)⊂M, xn-->a entonces, por hipótesis, a∈{xn: n∈N}| implica que f(a)∈{f(xn): n∈N}|. Supongamos que f(xn) no converge a f(a). Entonces existe un ε>0 tal que para todo n∈N existe m>n tal que f(xm)∉B(f(a)ε).
  • n=1. Existe n1>1 tal que f(xn1)∉B(f(a)ε).
  • n=n1. Existe n2>n1 tal que f(xn2)∉B(f(a)ε)...
  • Es decir, tenemos que xn converge a a y que f(xn) no está en la bola B(f(a),ε). Pero si aplico la hipótesis al nuevo conjunto tengo que a∈{xnk: k∈N}| pero f(a)∉{f(xnk): n∈N}|. ¡Contradcicción!

Además, es claro que si a es un punto aislado de M, toda aplicación f:M-->F es continua en a.

Y hasta aquí.


lunes, 26 de octubre de 2009

Límites y continuidad

Allá vamos con un nuevo capítulo: Aplicaciones entre espacios métricos.

Y qué menos que comenzar con una definición:

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y a∈M' (a es un punto de acumulación de M que puede pertenecer o no a M).

Definición (importantiña): Una aplicación f: M-->F tiene límite b∈F cuando x tiende hacia a si para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [para todo x∈M, con 0<id(x,ia)<iδ]ise tiene que ρi(f(x),b)i>ε. Esto se escribe así: lím f(x)=b (cuando x tiende a a).

También podemos expresar está definición en términos de topologías (ya que es lo que hemos estado estudiando): Para todo U entorno abierto de b existe V entorno reducido de a tal que f(V∩M)⊂U.

Vemos que en la definición de límite no interviene para nada el valor f(a) cuando a∈M.

Si a es un punto de acumulación de AM y f|A: A-->F tiene límite bA, cuando x tiende a a, se dice que bA es el límite de f(x) cuando x tiende a a a través del conjunto A.
Es claro que si existe el límite cuando x tiende a a en general, también existirá cuando x tiende a a a través de un conjunto determinado.

Y aunque parezca tonto, este concepto de límite a través de un conjunto es muy útil para decidir si un límite existe o no. Sólo hay que encontrar un conjunto AM con aA', a través del cual no exista el límite; o dos conjuntos A1,A2∈M con aA'1, aA'2, a través de los cuales existan y sean distintos los límites.
Por otro lado, para estudiar la existencia de un límite, hay que averiguar el candidato a límite, esto es, un punto b ∈F del que se pueda asegurar que si existe el límite vale b).

Definimos ahora el concepto de límites iterados, que consiste en el límite a través de rectas y el uso de coordenadas polares en el plano para el estudio de límites de funciones reales de dos variables.

Sea f: MR²-->R, con (0,0)∈M' y para cierto (x0,y0)∈M los conjuntos A={(x0,y): 0≤ y≤ y0}∪{(x,0): 0≤ x≤ x0} y B={(x,y0): 0≤ x≤ x0}∪{(0,y): 0≤ y≤ y0} cumplen A⊂M y B⊂M. Se definen los límites iterados en (0,0) (cuando existen) como:

límy->0 (límx->0 f(x,y) ) = λ1,2

límx->0 (límy->0 f(x,y) ) = λ2,1

En las condiciones de la definición anterior, si los límites son distintos entonces no existe lím(x,y)->(0,0) f(x,y).

Límites direccionales: Sea g: IR-->R, con 0 un punto de acumulación de I y límx->0 g(x)=0. Definimos el límite de f: MR²-->R a lo largo de g (cuando exista) como λg=límx->0 (x,g(x)).

Si encontramos dos funciones, g1 y g2, cumpliendo las condiciones de la definición anterior y tales que λg1, λg2 son distintos, entonces no existe el límite de f en (0,0). Es habitual tomar como función g rectas que pasan por el origen de coordenadas (y=x, y=x², x=y²,...).

Y por último, las polares: Sea f: R²-->R, l∈R. Consideremos la función que resulta de cambiar a coordenadas polares las variables en f, f*(θ,ρ)=f(ρcosθ,ρsenθ). Si |f*(θ,ρ)-l| ≤φ(ρ) con lím ρ->0 φ(ρ) =0 , entonces lím(x,y)->(0,0) f(x,y)=l .

A lo largo de esta semana iré poniendo más cosichuelas.


miércoles, 14 de octubre de 2009

Conexión (2).

Teorema: Un e.m. E es conexo si y solo si los únicos subconjuntos de E que son a la vez abiertos y cerrados son ∅ y E. (falta demostración).

Sea ahora E un espacio normado. Si a, b∈E, el segmento que une a y b es el conjunto [a,b]={t·a+(1-t)·b : 0≤t≤1}.

Una poligonal que enlace a con b es la unión finita de segmentos [a,c1]∪[c1,c2]∪...∪[cn-1,b].

A partir de la conexión de los intervalos de R es fácil ver que una poligonal es un conjunto conexo. Un conjunto M⊂E se dice que es conexo por poligonales si cualesquiera de sus puntos pueden ser enlazados por una poligonal contenida en M. Puede comprobarse que todo conjunto conexo por poligonales es conexo, pero el recíproco es falso en general. Lo que sí que se puede demostrar es que en espacios normados todo conjunto abierto y conexo es conexo por poligonales.

Demostración:

  • Sea S conjunto abierto y conexo en E y sea x∈S. Vamos a probar que x puede unirse con cualquier otro punto de S mediante una poligonal contenida en S.
  • Sea A el subconjunto de S formado por los puntos que pueden unirse con x mediante una poligonal. Sea B=S\A. Entonces S=A∪B, con A y B disjuntos.
  • Probaremos que A y B son abiertos en E. Sea a∈A y unamos a con x por medio de una poligonal. Como a∈S y S es abierto, existe B(a,r)⊂S para algún r>0. Si y∈B(a,r), [a,y]⊂B(a,r) y por tanto y puede unirse con x por medio de una poligonal (a la que une x y a le unimos el segmento [a,y]) lo cual implica que y∈A, es decir, B(a,r)⊂A, y por tanto A es abierto.
  • Sea b∈B, y sea B(b,s)⊂S. Si un punto de B(b,s) puede unirse con x mediante una poligonal tendríamos que b también se podría unir con x, es decir, b pertenecería a A, pero como b no pertenece a A, tenemos que ningún punto de la bola se puede unir con x, es decir, B(b,s)⊂B. Luego B es abierto.
  • Hemos obtenido una descomposición S=A∪B, de S formada por abiertos disjuntos. Pero A es no vacío ya que x∈A. Como S es conexo, B deberá ser vacío, con lo cual S=A.
  • Pero es evidente que A es conexo por poligonales y que cualquier par de puntos de A pueden unirse por medio de una poligonal (uniendo ambos con x). Por consguiente S es conexo por poligonales.
Y sanseacabó.