miércoles, 30 de septiembre de 2009

Topología en espacios métricos.

Hoy vamos a repasar conceptos y resultados ya conocidos de Análisis.

Sea (E,d) un e.m. se define la bola abierta de centro a∈E y radio r>0 como B(a,r)={x∈E, d(x,a)i}.iiLa bola cerrada se definiría así: B(a,r)={x∈E, d(x,a)≤r}.

Un conjunto A⊂E es abierto si para cada x de A existe r>0 tal que B(x,r)⊂A. Gracias a la desigualdad triangular podemos decir que cualquier bola abierta es un conjunto abierto. Esta demostración se ve clara gráficamente. Dibujamos una bola de centro a y radio r, y dentro de nuestra bola abierta hacemos una bola de menor tamaño (o igual tamaño) con centro en un punto x cualquiera y con radio ε. Lo que vamos a probar es que esta última bola está siempre contenida en la primera (o es igual que esta) para todo x∈B(a,r).
  • Sea z∈B(x,ε), es decir, d(x,z)<ε. Consideramos ε=(r-d(x,a))/2 (De esta forma evitamos que la bolita se salga de B(a,r)). Tenemos entonces d(z,a)≤d(z,x)+d(x,a)<(r-d(x,a))/2 +d(x,a)= r/2 +d(x,a)/2 = r/2+r/2=r.
Un conjunto A⊂E es cerrado si E\A (su complementario) es abierto. Definimos el conjunto vacío como un conjunto abierto (y así nos ahorramos complicaciones).

Un conjunto V es entorno de a∈E si existe r>0 tal que B(a,r)⊂V. Teniendo en cuenta esto y la definición anterior de conjunto abierto llegamos a que un conjunto es abierto si y solo si es entorno de todos sus puntos.

El entorno reducido de un punto a es un conjunto de la forma V\a (todos los puntos de V menos el punto a) donde V es entorno de a. ¿Y esto para qué? Pues bien, este concepto se utiliza a la hora de estudiar límites, donde lo que importa son los alrededores del punto y no el punto en sí.

La topología de un espacio métrico (E,d) viene dada por la familia de todos los conjuntos abiertos y una base para dicha topología estará formada por la familia de bolas abiertas {B(x,r); x∈E; r>0}.

Si (E,||·||) es un espacio normado, la topología de E es la de la métrica asociada a esa norma. La topología de E quedará denotada por ζ||·||.

Toca una definición: Sea M un subconjunto de un e.m. (E,d), se dice que x∈E:
  1. es interior a M, xMo, si existe r>0 tal que B(x,r)⊂M.
  2. es adherente a M, xM| , si para cada r>0, B(x,r)∩M≠∅.
Al conjunto M| se le llama cierre o clausura de M, a Mo, interior de M.

Vamos ahora a por una proposición: Sea (E,d) un espacio métrico. Un subconjunto G de E es abierto si y solo si G=Go, y un subconjunto F es cerrado si y solo si F=F|.
Además, el interior de un conjunto M es el mayor conjunto abierto contenido en M, y su clausura es el menor conjunto cerrado que contiene a M.

Veamos cómo marcha la cosa con un ejemplo. Consideremos el subconjunto B=[0,1]. Bo=(0,1). No están incluidos el 0 y el 1, puesto que si hacemos una bola (en este caso se trataría de un intervalo) con centro en 0 o en 1, no estará toda ella en B. Por otro lado, B|=B.

Pasamos a demostrar las dos últimas líneas de la proposición:
  • Supongo G subconjunto abierto. Es claro que Go⊂G, pues los puntos de Go, por definición, son puntos de G. Probemos el recíproco.
  • Considero x∈G. Como G es abierto puedo hacer una bola de centro x y radio ε contenida en G, pero todo lo que hay dentro de G son puntos interiores, luego G⊂Go. Hemos llegado a que G=Go.
  • Supongo F subconjunto cerrado. Es claro que F⊂F|, pues evidentemente la intersección de puntos que están en F con F no es el vacío. Luego, como mínimo, la adherencia es el propio subconjunto. Probemos que F|⊂F.
  • Sea x∈F| y x∉F. Como F es cerrado, E\F es abierto y podemos construir una bola B(x,r)⊂E\F (complementario de F). Pero resulta que x∈F|, y esto quiere decir que B(x,r)∩F≠∅. Estaríamos diciendo que F y su complementario tienen puntos en común, por lo que llegamos a una contradicción. Esto es, F|⊂F, y, por tanto podemos decir que F=F|.

Y esta fue la lección de hoy.

martes, 29 de septiembre de 2009

Espacios normados. Producto interior.

Un espacio normado (E, ||.||) es un espacio vectorial E y una función ||.||: E-->R, llamada norma (que cumple las propiedades 1.N,2.N y 3.N que vimos ayer). El ejemplo más sencillo de norma lo proporciona el valor absoluto en R.

Ejemplos de espacios normados:
  1. Para x∈Rn definimos ||x||1=∑|xi| desde i=1 hasta n.
  2. Para x∈Rn definimos ||x||∞=máx{|xi|; i=1,...n}.
  3. Sea E={f:[0,1]-->R; f está acotada}. Se comprueba que E es un e.v. con las operaciones usuales de funciones y se define para f∈R, ||f||∞=sup{|f(x)|; x∈[0,1]}.
A las normas de la forma ||·||∞ se las denomina normas del supremo.

Es bastante claro que la norma definida en el punto 3 cumple las propiedades 1.N y 2.N. Veamos si cumple la 3.N (desigualdad triangular).

|(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤||f(x)||∞+||g(x)||∞

||(f+g)(x)||∞≤||f(x)||∞+||g(x)||∞

||(f+g)(x)||∞ no puede ser mayor que ||f(x)||∞+||g(x)||∞ puesto que es la menor de las cotas de |(f+g)(x)|.

En un espacio normado podemos siempre definir una métrica. Si tenemos un espacio (E,||·||), dados u,v∈E definimos d(u,v)=||u-v||. La demostración a partir de la desigualdad de Cauchy-Schuarz de que 3.N implica 3.D nos asegura que d así definida es una métrica en E que se denomina métrica asociada a la norma del espacio.

Veamos que el recíproco no se cumple, es decir, que no todas las métricas en un e.v. provienen de una norma. Pongamos como ejemplo la métrica discreta (explicada ayer):
  • Supongamos (E,||·||) e.v. normado tal que d(u,v)=||u-v|| es la métrica discreta. Si u=v, d(u,v)=0=||u-v||. Si u es distinto de v, entonces d(u,v)=1=||u-v||. En este último caso, consideremos los vectores 2u y 2v (que siguen siendo distintos). Tenemos entonces d(2u,2v)=1 y ||2u-2v||=2||u-v||=2·1=2. Pero d(2u,2v)=||2u-2v||, con lo que llegamos a un absurdo.
Comentamos también ayer la noción de producto interior. Dado un e.v. E, diremos que una aplicación <·,·>:ExE-->R es un p.i. de E si verifica las propiedades 1.P, 2.P y 3.P.

Un ejemplo de espacio con la aplicación producto interior es el siguiente: En el e.v. de las funciones continuas en el intervalo [0,1] definimos el producto interior =∫01f(x)g(x)dx. Probaremos que, efectivamente, se trata de un p.i:

  • 2.P es inmediata y 3.P resulta de la linealidad en las integrales. Demostremos 1.P, esto es, que i<if,if>e≥0 y queif<if,if>e=0 si y solo si f=0.
  • Lo primero se prueba así: =∫01f ²(x)dx≥∫010dx=0.
  • Si f=0 es claro que i<if,if>e=0. Vamos a demostrar el recíproco.
  • Partimos de que i<if,if>e=0. Supongamos que existe x0∈[0,1] tal que f(x0) es distinto de 0. Tomamos ε=|f(x0)|/2>0. Por ser f continua sabemos que existe δ>0 tal que si x∈[x0-δ,x0+δ] entonces |f(x)-f(x0)|≤ ε (no es un menor estricto debido a que el intervalo [x0-δ,x0+δ]es cerrado). ||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|≤ ε, es decir, -ε≤|f(x)|-|f(x0)|≤ ε y de aquí deducimos que |f(x)|>ε. Por la monotonía de la integral, al ser f²(x)≥0, para todo x∈[0,1] tenemos: 0=∫01f ²(x)dx≥∫f ²(x)dx [entre x0-δ y x0+δ]≥2δε² >0, y esto es una contradicción.

Mañana más.

lunes, 28 de septiembre de 2009

Espacios métricos. Producto interior

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A partir de ahora trabajaremos en Rn. A los elementos de Rn los denominaremos puntos o vectores (estarán en negrita).

En primer lugar definiremos 3 conceptos fundamentales:
  • Norma: ||X||=sqrt Σ(Xi)²
  • Distancia: d(X,Y)=||X-Y||= sqrt Σ(Xi-Yi)²
  • Producto interior (o escalar): <X,Y>=ΣXi·Yi
Pasamos a enunciar sus respectivas propiedades.

  1. N- ||X||≥0 y es 0 si, y solo si X=0.
  2. N- ||a·X||=a·||X|| con a=constante.
  3. N- ||X+Y||≤||X|| +||Y|| (Des. Triangular).
  1. D- d(X,Y)≥0 y es 0 si, y solo si X=Y.
  2. D- d(X,Y)= d(Y,X).
  3. D- d(X,Y)≤ d(X,Z)+ d(Z,Y) (Des. Triangular).
  1. P- <X,X>≥0 y es 0 si, y solo si X=0.
  2. P- <X,Y>= <Y,X>.
  3. P- ·X+b·Y,Z>= a·<X,Z>+ b·<Y,Z>.

Las propiedades que quizás son sean muy obvias son la 3.N y la 3.P, y las vamos a demostrar probando previamente la desigualdad de Cauchy-Schuarz:

|<X,Y>|≤||X||·||Y||

Probaremos ahora la propiedad 3.N, haciendo uso de que ||X||²=<X,X>.
Apoyándonos en esta última demostración probaremos la propiedad 3.D:

d(X,Y)=||x-y||=||x-z + z-y||≤||x-z||+||z-y||=d(X,Z)+d(Z,Y).

Una vez conocidos estos conceptos y sus propiedades, podemos empezar a profundizar en el tema de espacios métricos.

Un espacio métrico (M,d) es un conjunto M dotado de una función d:MxM-->R que cumple las propiedades 1.D, 2.D y 3.D. La función d se denomina métrica. Vienen aquí algunos ejemplos de espacios métricos:
  1. R con la métrica d(X,Y)=|X-Y|, que es la que hemos estado tomando nosotros.
  2. La métrica discreta: Se define d(X,Y)=0 si X=Y y d(X,Y)=1 si X es distinto de Y.
  3. Métrica acotada: La función definida por la expresión p(X,Y)=mín{1,d(X,Y)} es una métrica y cumple p(X,Y)≤1 para todo X e Y.
Demostración de 2:
Demostración de 3:
C'est fini. Continúo mañana con los espacios normados.

sábado, 26 de septiembre de 2009

Ecuaciones integrales

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Mencionaré un ejemplo de ecuación integral simplemente para que se sepa que "existen", pues las que vamos a estudiar con profundidad más adelante serán las ecuaciones diferenciales.

Un tipo de ecuación integral es la de Volterra de 2ª especie, que tiene la siguiente forma:

φ(x) = f(x) + λ·ax [φ(t)·K(x,t)] dt

Un ejemplo podría ser el siguiente:

φ(x) = 1/(1+x²) - 0x [φ(t)·t / (1+x²)] dt

A continuación realizaremos el ejercicio de comprobar que la función φ(x)=1/(1+x²)3/2 es solución de la ecuación dada. Esto servirá para repasar el asunto de la resolución de integrales.

En primer lugar multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por 1+x². De esta forma el 1/(1+x²) dejará de estar dentro de la integral, pero podemos hacerlo ya que la integración es con respecto a t, lo que significa que el 1/(1+x²) que está dentro de la integral actúa como una constante.

Nos queda entonces algo más "bonito" a la vista:

φ(x)·(1+x²) = 1 - 0x [φ(t)·t] dt

Sustituimos φ(t) por su valor:

φ(x)·(1+x²) = 1 - 0x [1/(1+t²)3/2 ·t] dt

φ(x)·(1+x²) = 1 - 0x t/(1+t²)3/2 dt

Multiplicamos y dividimos por 2 la integral, de modo que en el numerador nos queda la derivada de lo que está dentro del paréntesis en el denominador.

φ(x)·(1+x²) = 1 - (1/2)·0x 2t/(1+t²)3/2 dt

Esto nos va a facilitar mucho las cosas, porque para resolver la integral basta con hacer el cambio de variable z=1+t².

z=1+t²
dz=(1+t²)' dt =2t dt

Puesto que se trata de una integral definida no debemos olvidar calcular los nuevos límites de integración:

t=x; a=1+x²
t=0; b=1+0²=1

La ecuación se nos queda de esta forma :

φ(x)·(1+x²) = 1 - (1/2)·0x 1/z3/2 dz

Multiplico por 2 (para quitarme el 1/2) e integro, que es muy sencillo, puesto que es la integral del polinomio z-3/2.

2·φ(x)·(1+x²) = 2 - [z-1/2/(-1/2)] 11+x²

2·φ(x)·(1+x²) = 2 - [(1+x²)-1/2/(-1/2) - 1-1/2/(-1/2)]

2·φ(x)·(1+x²) = 2 - [-2·(1+x²)-1/2 + 2]

2·φ(x)·(1+x²) = 2 + 2·(1+x²)-1/2 - 2

2·φ(x)·(1+x²) = 2·(1+x²)-1/2

φ(x)·(1+x²) = (1+x²)-1/2

φ(x) = (1+x²)-3/2

Y esto es todo.
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jueves, 24 de septiembre de 2009

Topología de la recta R (2)

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Hoy vamos a ir a por el primer teorema en condiciones:

Sea KR. Son equivalentes:
  1. K es cerrado y acotado.
  2. Cada sucesión en K tiene una subsucesión convergente hacia un punto de K. (K es sucesionalmente compacto).
  3. Cada cubrimiento abierto de K tiene un subrecubrimiento finito (K es compacto).

Demostración:

Primero probaremos que
1 implica 2.

  • Consideramos Xn⊂K una sucesión. Como K es un conjunto acotado (por hipótesis), la sucesión contenida en él es también acotada y podemos hacer uso del Teorema de Bolzano-Weierstrass, que nos dice que en esas condiciones existe una subsucesión (Xnk) de (Xn) que converge hacia un cierto x∈R.
  • Queda demostrar que dicho x está en K. Supongamos que x∉K, es decir, x∈Kc que es abierto (por ser K cerrado). Por ser abierto tiene que existir ε>0 tal que (x-ε, x+ε)⊂Kc. Dado dicho ε, existirá k0∈N tal que si k>k0 d(Xnk,x)≤ε (Es decir, a partir del término k0 todos los términos de la subsucesión estarán en B(x,ε) ). Esto contradice el hecho de que la subsucesión está en K, que es algo que ya hemos demostrado, luego el punto al que converge Xnk está en K.

A continuación vamos a probar que
2 implica 1.

  • Probamos en primer lugar que K está acotado. Si no lo fuese, para cualquier n existiría Xn∈K con |Xn|>n. Por hipótesis podemos encontrar una subsucesión Xnk convergente a un punto de K, y por ser convergente es acotada, por lo que entramos en una contradicción. K es por tanto acotado.
  • Veamos que K es cerrado. Si no lo fuese, Kc sería cerrado por lo que existiría algún x∈Kc tal que B(x,ε) no está contenido en Kc para cualquier ε>0. Es decir, que hay puntos en el intervalo (x-ε, x+ε) que están en K. Si tomamos ε=1/n, para cada n existirá yn∈K con d(yn,x)<1/n, o lo que es igual, yn⊂(x-1/n,x+1/n). De la sucesión de puntos (yn) podemos encontrar una subsucesión (ynk) convergente a un punto y de K (hipótesis). Pero resulta que la sucesión (yn) converge a x, pues cuanto mayor es n, menor es la distancia entre los términos de la sucesión y x. Como (ynk) es subsucesión de yn, también converge a x. Como el límite de una sucesión (en este caso subsucesión) es único llegamos a que x=y. Luego x está en K, que es una contradicción. Concluimos que K entonces tiene que ser cerrado.

Demostración de que
3 implica 1.

  • Primero vemos que K es acotado. Sea x0∈K. Es claro que la familia {B(x0,n):n∈N} cubre a K (en realidad cubre toda la recta de números reales). Por hipótesis existen n1,n2...nk∈N, cubrimiento finito de K, es decir, K⊂∪B(x0,ni) con i=1,...k. Sea n0 el máximo n, K estará contenido en el intervalo (x0-n0, x0+n0), luego estará acotado.
  • Veamos que K es cerrado (que equivale a demostrar que Kc es abierto. Sea x∈Kc. Para cada y∈K consideramos ρy>0 y ry>0 tales que B(x,ρy)∩B(y,ry)=∅ (Para asegurarme de que cubro K sin llegar a coger a x hago ry=|x-y|/3). Es claro que K está contenido en la unión de los intervalos (y-ry, y+ry). Existirá por tanto un número finito de estos intervalos en el que K estará contenido (por hipótesis). Sea ρ el mínimo de los ρyi, entonces B(x,ρ)⊂Kc. Y esto se cumple para todo x∈Kc. Kc es entorno de todos sus puntos (tomando ε=ρ) lo que significa que Kc es abierto. Veámoslo: Si z∈B(x,ρ)∩K entonces z∈B(yi,ryi) para algún i y z∈B(x,ρyi)⊂B(x,ρ). Pero esto es una contradicción pues partimos de que B(x,ρy)∩B(y,ry)=∅. Por lo tanto Kc es abierto (ergo K es cerrado).
Falta una última demostración: 1 implica 3.

  • Como K es acotado, ∃ M>0 tal que K⊂[-M,M], que es compacto (es un caso particular del [a,b], que ya está demostrado). Sea (Gi) un cubrimiento de K, podremos cubrir [-M,M] con la unión de los (Gi) y Kc, y por ser K cerrado, esta unión es un cubrimiento abierto de [-M,M]. Por ser [-M,M] compacto podemos encontrarle un cubrimiento finito: [-M,M]⊂ ∪Gi∪Kc (If⊂I, i⊂If). Y con esto llegamos a que Gi, que es finito, cubre K, que es justamente lo que se quería probar.

#Creo que está claro que no es necesario demostrar la doble implicación entre 2 y 3. 2⇒3 equivale a 2⇒1 ⇒3. 3⇒2 equivale a 3⇒ 1⇒ 2.


Hoy fue una lección más dura.


miércoles, 23 de septiembre de 2009

Topología de la recta R

La topología de R es la familia ζ de todos los conjuntos abiertos de R y sus propiedades son:
  1. ø∈ζ, Rζ.

  2. La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

  3. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

ø y R son conjuntos abiertos pues son entorno de todos sus puntos.

Demostramos la segunda propiedad de esta forma: Sean {Gi} los conjuntos abiertos contenidos en la familia ζ, la unión del número de conjuntos que yo quiera(unión arbitraria) será también un conjunto abierto de la familia, esto es, g =Gi ∈ζ. Dado xg (es decir, x está en la unión), por tanto tiene que existir algún i tal que x∈Gi, y como Gi∈g entonces xζ, esto es, los puntos de la unión están en la familia de conjuntos abiertos, luego dicha unión es también un conjunto abierto.

Demostración de la propiedad 3. Defino G = G1∩G2. Sea xG: Como x∈G1, ∃ ε1>0 tal que (x1, x1)⊆ G1. Como x∈G2, ∃ ε2>0 tal que (x2, x2)⊆ G2. Como quiero que esté en la intersección, cojo el imenor ε de entre ε1 y ε2. De esta forma me aseguro que el intervalo (x1, x1) va a estar contenido en G.


Pasamos a definir los conjuntos cerrados. Un conjunto F es cerrado si su complementario Fc ≡ R\F es abierto. La familia de todos los conjuntos cerrados de R la denotamos por ϝ y cumple lo siguiente:

  1. ø∈ϝ y R∈ϝ

  2. La intersección arbitraria de miembros de ϝ pertenece a ϝ.

  3. La unión de un número finito de miembros de ϝ pertenece a ϝ.

ø y R son cerrados porque sus complementarios, R y ø respectivamente, son abiertos. Estas propiedades se pueden deducir de las propiedades de la topología de R.


Continuamos con el concepto de cubrimiento abierto. Una familia de conjuntos {Gi} de R es un cubrimiento abierto de K⊂R si todos los conjuntos Gi son abiertos y K está contenido en la unión de todos ellos, esto es, para todo xK iI (existe algún índice) tal que xGi (x está contenido al menos en uno de ellos).


Otro nuevo concepto es el de conjunto compacto. Un conjunto K diremos que es compacto si para cada cubrimiento abierto de K existe un subconjunto finito de índices (If ⊂ I ) tal que KGi (con i∈If). Es decir, si K se puede cubrir con un número finito de conjuntos abiertos.

Vamos a demostrar que el intervalo [a,b] es compacto.

  • Sea (Gi) con i∈I un cubrimiento abierto de [a,b]. Definimos el conjunto A:={x∈[a,b] tal que [a,x] es cubierto por una cantidad finita de elementos de (Gi)}.

  • A es no vacío, pues contiene a a, y al estar acotado superiormente por b sabemos que existe α=supremo(A). α va a ser menor o igual que b, ya que es la menor de las cotas superiores. Probaremos que α∈A y que α=b, con lo que quedará demostrado el resultado. Si α está en A el intervalo [a,α] (por la definición de A) estará cubierto por una cantidad finita de elementos de (Gi). Y si ese máximo es igual a b, estará cubierto el intervalo [a,b], que es lo que queremos demostrar.

  • 1º α∈A. Existe Gj de forma que α∈Gj y como éste es abierto, ∃ ε>0 tal que (α-ε,α+ε) es tá contenido en Gj. Como α-ε no es cota superior de A, ∃ x∈A tal que α-ε<x≤α y [a,x], por pertenecer a A, está cubierta por una cantidad finita de elementos (Gi). Por tanto, ∪Gi∪Gj cubre a [a,α] (i∈If).

  • α=b. Si fuese α()<ib iidadoiiεd>f0 se cumple que (α-ε,α+ε) está contenido en Gj y podemos tomar iiεdademás que α+ε()<ib i. El intervalo [a,iα+iε(/2] está cubierto por una cantidad finita de miembros de (Gi) (esto es así porque como α(∈A, el intervalo [a,iαi] está cubierto por una cantidad finita, y si añadimos Gj cubriremos [a,iα+iε(/2]). Tenemos entonces que iα+iε(/2∈A, lo que implica que α()no es cota superior de A, y esto es absurdo puesto que partimos de que iαi es supremo de A. Luego iαi=iibi.
Y así concluye la primera demostracioncilla medio importante.

martes, 22 de septiembre de 2009

Introduciendo la topología de la recta real

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La recta de los números reales, es decir, (R, +, ·, ≤) es un cuerpo totalmente ordenado. Además, todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene
supremo (la menor de las cotas superiores).

Recordaré ahora algo fundamental: el valor absoluto de un número real positivo x coincide con x. Si es negativo, es igual a -x. Algunas de sus propiedades son:
  1. |x| = 0 si y sólo si x 0.
  2. |x+y| ≤ |x|+ y| (Desigualdad triangular)
  3. |x·y| = |x|·|y|
x e y siempre números reales.

Podemos ya definir la aplicación métrica o distancia: d(x,y) = |x-y|. Esta aplicación cumple las siguiente propiedades:
  1. d(x,y) = 0 si, y sólo si x=y.
  2. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).
  3. d(x,y) = d(y,x)
Las propiedades 1 y 3 están claritas. La propiedad 2 viene directamente de la desigualdad triangular aplicando la definición de métrica:

d(x,z) + d(z,y) = |x-z|+|z-y| ≥ |x-z + z-y| = |x-y| = d(x,y)


Al considerar la recta real junto con esta aplicación métrica, (R,d), tenemos un espacio métrico completo, esto es, toda sucesión de Cauchy es convergente -en una sucesión de Cauchy existe un término a partir del cual los siguientes términos están "muy próximos" entre sí. En una sucesión convergente existe un término a partir del cual los términos siguientes están muy próximos a un punto, el límite-.


Toca ahora definir el concepto de entorno en R. Sea x un número real, un entorno de x es un conjunto V contenido en R tal que: existe ε >0 con B(x,ε):=(x-ε ,x+ε) contenido en V. Para que se vea más claro podemos decir que un entorno de x es un intervalo de la recta real tal que podemos tomar un intervalito más pequeño de centro x y radio ε de modo que todos los puntos de dicho intervalo van a estar dentro de dicho conjunto.

---(-----(---x---)------------)-- El conjunto (a,b) es entorno de x.

------(--[a---)------------)----- (a es el límite izquierdo del intervalo) El conjunto [a,b) no es entorno de a, pues por pequeño que sea el ε, será mayor que cero, luego el intervalito se saldrá siempre del conjunto [a,b), y esto quiere decir que hay puntos del intervalito que no estarán contenidos en el conjunto.

Decimos que un conjunto es abierto si es entorno de todos sus puntos. En el primer caso es así, en el segundo no, porque a es justo el límite del conjunto, luego para cualquier ε que cojamos se nos quedará parte del intervalito fuera del conjunto.

Todo por hoy.