Aplicaciones Lipschitzianas. Conexión, continuidad y convergencia de aplicaciones.

Las funciones lipschitzianas son un ejemplo de funciones uniformemente continuas.

Definición: Decimos que f:M⊂(E,d)-->(F, ρ) es lipschitziana con constante de lipschitz c>0 si para cada par de puntos x, y de M se cumple ρ(f(x),f(y))≤c·d(x,y).
Toda aplicación lipschitziana es uniformemente continua (dado ε>0, basta con tomar δ=ε/c).

Ejemplos.

1. Si f:(a,b)-->R es derivable con derivada acotada, es decir, existe M>0 tal que |f '(x)|≤M para x,y∈(a,b) tenemos |f(x)-f(y)|=|f '(e)|·|x-y|≤M|x-y|.
2. Las aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados; si T⊂K(E,F), T es lipschitziana con constante de lipschitz precisamente ||T||.

Una aplicación f:(E,d)-->(E,d) se dice que es contractiva si es lipschitziana con constante de lipschitz 0<1. style="font-weight: bold;">Teorema del punto fijo de Banach: Supongamos que (E,d) es un e.m. completo y que f:E-->E es contractiva. Entonces f tiene un único punto fijo, es decir, existe x∈E tal que f(x)=x.

(No pongo la demostración porque es bastante farragosa de escribir a ordenador).

Conexión y continuidad:

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e.m., M⊂E un conjunto conexo y f:M--->F una aplicación continua. Entonces f(M) es un subconjunto conexo de F.

Corolario: R2 no puede ser homeomorfo a R (recordemos que tendríamos un homeomorfismo si f:R2-->R fuese biyectiva y tanto f como su inversa fuesen continuas).

Prueba:
Si existiera un homeomorfismo f:R2-->R, la imagen del conjunto R2\{0}, que es conexo, tendría que ser conexa. Pero f(R2\{0})=R\{f(0)} no es conexo.

Otro corolario: Si f:M⊂(E,d)-->R es continua y M es conexo, entonces f(M) tiene la propiedad de los valores intermedios, esto es, si a,b∈M y e es un número real entre f(a) y f(b), entonces existe c∈M tal que f(c)=e.

Convergencia de aplicaciones.

Sea T un conjunto no vacío y (F, ρ) un espacio métrico. Una sucesión de funciones fn:T-->F converge puntualmente cuando para cada t perteneciente a T la sucesión (fn(t)) converge en (F,ρ). En este caso el límite puntual de la sucesión es la aplicación f:T-->F definida por f(t):=lim fn(t) cuando n tiende a infinito.
La definición de convergencia puntual equivale a la condición: Para cada t perteneciente a T y cada ε>0 existe un número natural n(ε,t) tal que si n>n(ε,t) entonces ρ(fn(t),f(t))<ε.

Definimos una convergencia más fuerte: Sea T un conjunto no vacío y (F, ρ) un espacio métrico. Una sucesión de funciones fn:T-->F converge uniformemente hacia f:T-->F si para todo ε>0 existe n(ε) tal que si n>n(ε) entonces ρ(fn(t),f(t))<ε para todo t perteneciente a T.

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e.m., y sea fn:T-->F una sucesión de funciones continuas convergente uniformemente a f:[a,b]--->R. Entonces f es integrable y tenemos que el límite de la integral de fn(x) entre a y b es igual que la integral entre a y b de f(x).

(No pongo la demostración por lo mismo de antes).

Y ya.

Aplicaciones lineales

Vamos ahora a estudiar las aplicaciones lineales en espacios normados.

Sean E y F dos e.v. Una aplicación T:E-->F se dice que es lineal si T(a·x+b·y)=a·T(x)+b·T(y). (Siendo a y b números reales y x,y∈E.

Proposición: Sean (E,||·||) y (F, ||·||') e. normados y T:E-->F una aplicación lineal, son equivalentes:

1. T es continua.
2. T es continua en 0.
3. Existe c>0 tal que ||T(x)||'≤c·||x|| para todo x∈E.

Si E es de dimensión finita, toda aplicación lineal T:E-->F es continua.
Pruebas:

• 3 implica 1: ||T(y)-T(x)||'=||T(y-x)||' (por la linealidad).
• ||T(y-x)||'≤c·||y-x||. Dado ε>0 podemos encontrar δ>0 tal que si ||y-x||<δ ||T(y)-T(x)||'<ε. Basta con elegir δ=ε/c. ||T(y-x)||'ε/c=ε.
• 1 implica 2 está claro, pues si T es continua, en particular es continua en 0.
• 2 implica 3. Tomando ε=1, existe δ>0 tal que si ||y||<δ entonces ||T(y)||'=||T(y)-T(0)||'<1.
• La constante c=2/δ cumple la desigualdad del punto 3. Esto es evidente si x=0. Supongamos x distinto de 0. Consideramos y=x/(c·||x||), y tenemos que ||y||=1/c=δ/2<δ, entonces 1<||T(y)||=||T(x)||'/(c·||x||)--->||T(x)||'≤c·||x||.
• Ahora, si el espacio E es de dimensión finita, dimE=n, fijamos una base {u1,...un} de E y definimos la aplicación S: Rn--->E mediante S(x1,...xn)=sum(xi·ui).
• Para cada x∈E, x=sum(xi·ui), definimos la norma en E ||x||*=sum|xi|=||S^-1:(x)||1, que es equivalente a la inicial ||·|| (por ser de dimensión finita).
• La constante C=máx{||T(uk)||':1≤k≤n} verifica ||T(x)||'=||sum(xi·T(ui))||'=sum(|xi|·||T(ui)||'≤C||x||*. Como se cumple 3, T es continua para la norma ||·||* y por tanto también para ||·||.

Si (E,||·||) y (F, ||·||') son e. normados, el conjunto de aplicaciones lineales continuas T:E-->F, denotado por K(E,F), también es un e.v.

Corolario: Para cada T∈K(E,F), el número ||T||=sup{||T(x)||':||x||≤1} es finito y define una norma sobre K(E,F).
||T(x)||'≤||T||·||x|| para cada x∈E y ||T|| es la mejor constante (la mínima) que cumple la condición 3 de la proposición anterior.

Mañana o al otro más y mejor.