Aplicaciones lineales

Vamos ahora a estudiar las aplicaciones lineales en espacios normados.

Sean E y F dos e.v. Una aplicación T:E-->F se dice que es lineal si T(a·x+b·y)=a·T(x)+b·T(y). (Siendo a y b números reales y x,y∈E.

Proposición: Sean (E,||·||) y (F, ||·||') e. normados y T:E-->F una aplicación lineal, son equivalentes:

1. T es continua.
2. T es continua en 0.
3. Existe c>0 tal que ||T(x)||'≤c·||x|| para todo x∈E.

Si E es de dimensión finita, toda aplicación lineal T:E-->F es continua.
Pruebas:

• 3 implica 1: ||T(y)-T(x)||'=||T(y-x)||' (por la linealidad).
• ||T(y-x)||'≤c·||y-x||. Dado ε>0 podemos encontrar δ>0 tal que si ||y-x||<δ ||T(y)-T(x)||'<ε. Basta con elegir δ=ε/c. ||T(y-x)||'ε/c=ε.
• 1 implica 2 está claro, pues si T es continua, en particular es continua en 0.
• 2 implica 3. Tomando ε=1, existe δ>0 tal que si ||y||<δ entonces ||T(y)||'=||T(y)-T(0)||'<1.
• La constante c=2/δ cumple la desigualdad del punto 3. Esto es evidente si x=0. Supongamos x distinto de 0. Consideramos y=x/(c·||x||), y tenemos que ||y||=1/c=δ/2<δ, entonces 1<||T(y)||=||T(x)||'/(c·||x||)--->||T(x)||'≤c·||x||.
• Ahora, si el espacio E es de dimensión finita, dimE=n, fijamos una base {u1,...un} de E y definimos la aplicación S: Rn--->E mediante S(x1,...xn)=sum(xi·ui).
• Para cada x∈E, x=sum(xi·ui), definimos la norma en E ||x||*=sum|xi|=||S^-1:(x)||1, que es equivalente a la inicial ||·|| (por ser de dimensión finita).
• La constante C=máx{||T(uk)||':1≤k≤n} verifica ||T(x)||'=||sum(xi·T(ui))||'=sum(|xi|·||T(ui)||'≤C||x||*. Como se cumple 3, T es continua para la norma ||·||* y por tanto también para ||·||.

Si (E,||·||) y (F, ||·||') son e. normados, el conjunto de aplicaciones lineales continuas T:E-->F, denotado por K(E,F), también es un e.v.

Corolario: Para cada T∈K(E,F), el número ||T||=sup{||T(x)||':||x||≤1} es finito y define una norma sobre K(E,F).
||T(x)||'≤||T||·||x|| para cada x∈E y ||T|| es la mejor constante (la mínima) que cumple la condición 3 de la proposición anterior.

Mañana o al otro más y mejor.