Funciones continuas definidas en compactos

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. Si K⊂E es compacto y f: K-->F es continua entonces f(K) es compacto.

Vamos a ver dos demostraciones para este teorema (la primera quizás es más elegante):

• 1. Utilizaremos que un conjunto es compacto si y solo si es sucesionalmente compacto.
• Sea (yn)⊂f(K) entonces existe (xn)⊂K tal que yn=f(xn). (xn)⊂K sucesionalmente compacto, luego existe (xnk) subsucesión de (xn) convergente a x∈K.
• Como f es continua, ynk=f(xnk) converge a f(x), luego (ynk) subsucesión de (yn) converge a f(x)∈f(K). f(K) es compacto.
• 2. Mediante la definición de compacidad. Sea {Vi} cubrimiento abierto de f(K). Como f es continua, existen {Ui} abiertos en (E,d) tales que f^-1(Vi)=K∩Ui.
• Veamos que ∪Ui cubre a K: Si x∈K, f(x)∈f(K), luego f(x)∈{Vi}, luego x∈K∩Ui. Luego todo x∈K queda cubierto por ∪Ui.
• Como K es compacto hay una cantidad finita de cubrimientos Ui tales que K⊂∪Uik. Y esto implica que f(K) queda cubierto por una cantidad finita de Vi. f(K) es compacto.

Corolario de este teorema: (Teorema de Weierstrass) Toda función real continua, definida en un subconjunto compacto de un e.m. alcanza su máximo y su mínimo absolutos.

Demostración:

• f(K) es compacto (en R) si y solo si es cerrado y acotado. Como es acotado existe i=ínf{f(x):x∈K} y s=sup{f(x):x∈K.
• Se tiene que para todo número natural existe (xn)⊂K tal que s-1/nDe aquí vemos que cuando n tiende a infinito, f(xn) tiende a s. Como f(K) es cerrado, toda sucesión convergente de f(K) tiene su límite en f(K), luego s∈f(K), es decir, existe x∈K tal que f(x)=s.

Corolario: Si f:K-->F es continua e inyectiva sobre un compacto K⊂E, entonces la aplicación inversa f^-1:Y=f(K)-->K es continua.

Demostración:

• Sea (yn): yn-->y∈f(K), ¿f^-1(yn)-->f^-1(y)?
• Sea xn∈K y x∈K: f(xn)=yn, f(x)=y. Sea z un punto de aglomeración en K de (xn). Existe (xnk)-->z, además, por continuidad, ynk=f(xnk)-->f(z)=y=f(x). Y como f es inyectiva, x=z (porque no puede haber dos puntos de K que tengan la misma imagen). x es el único punto de aglomeración, xn-->x.

Definición: Una aplicación f:(E,d)-->(F,ρ) se dice que es un homeomorfismo si es biyectiva y tanto f como f^-1 son funciones continuas.
Podemos decir, a partir de esto y del corolario anterior, que toda aplicación continua e inyectiva, definida en un compacto, es un homeomorfismo sobre su imagen.

Vamos ahora a ver que aportan estos resultados al asunto de las normas.

Teorema: Sobre un espacio vectorial de dimensión finita todas las normas son equivalentes y además dicho espacio es completo.

Prueba:

• Para empezar veremos que toda norma ||·|| en Rn es equivalente a la euclídea.
• Sea {e1, e2,..., en} la base canónica de Rn y β=sum||ei||>0 de i=1 hasta i=n. Sea x=(x1,x2,...xn)∈Rn.
• ||x||=||sum(xi·ei)||≤sum||xi·ei||=sum|xi|·||ei||≤sum||x||2·||ei||=β·||x||2. Luego ||x||≤β·||x||2.
• Esto implica que la función f:(Rn,||·||2)-->R definida por f(x)=||x|| es continua: Como |f(xn)-f(x)|=|||xn||-||x|||≤||xn-x||≤β||xn-x||2, si xn-->x en ||·||2 entonces f(xn)-->f(x). Y por tanto alcanza un mínimo absoluto sobre el conjunto compacto K={y∈Rn:||y||2=1}, es decir, existe a∈K tal que ||a||≤||y|| (f(a)≤f(y)) para todo y∈K. Llamando α=||a||, como el vector y=x/||x||2∈K (con x≠0), tenemos:
• α≤||y||=||x||/||x||2------------>α||x||2≤||x||.

Sea E un e. v. de dimensión n. Fijada una base {u1,u2,...un} de E podemos identificar E con Rn mediante el isomorfismo algebraico S:Rn-->E definido así: si x=(x1,x2,...xn)∈Rn entonces S(x1,...xn)=sum(xi·ui).

Si ||·|| y ||·||' son dos normas cualesquiera en E, definimos las siguientes normas: Dado x∈Rn: ||x||s:=||S(x)|| y ||x||'s:=||S(x)||'.
Estas normas son equivalentes en Rn, esto es, existen a,b>0 tales quepara todo x∈Rn a·||x||s≤||x||'s≤b·||x||s si y solo si a·||S(x)||'≤||S(x)||'≤b·||S(x)||'.

Sea y∈E, como S es suprpayectiva existe x∈Rn tal que y=S(x), entonces a·||y||s≤||y||'≤b·||y||.

La completitud en E con cualquiera de sus normas se deduce de la completitud en Rn usando la identificación dada por ||x||s:=||S(x)|| para todo x∈Rn.

The last definition: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. y f:M-->F una aplicación definida en M⊂E. Se dice que f es uniformemente continua cuando para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [x,y∈M, d(x,y)<δ] implica ρ(f(x),f(y))<ε.
Seguro que esta definición nos recuerda mucho a la de continuidad (y es lógico). ¿Dónde está la diferencia? Pues bien, en la continuidad hablamos de puntos concretos (describimos un comportamiento local de la función), en la continuidad uniforme hablamos de todos los puntos del dominio de f (comportamiento global de la función). Una función será uniformemente continua cuando podamos encontrar un δ>0 concreto con el que se cumpla lo dicho en la definición para cualquier pareja de puntos del dominio.

Hay que señalar que la continuidad uniforme implica continuidad, pero el recíproco no es cierto. Ejemplo:

• Escogemos la función f:(x)=x². Esta función es continua, pero no uniformemente continua, pues conforme nos alejamos del origen (0,0), la distancia entre las imágenes de los puntos aumenta mucho.

• 

• Vemos que si el dominio fuera un entorno perqueño del origen podríamos encontrar un δ pequeñín que nos sirviera para todos los puntos, pero a medida que nos alejamos del origen el valor de la función cambia bruscamente y las imágenes cada vez están más distantes.

Y para acabar:

Teorema: (Teorema de Heine): Sean (E,d) y (F, ρ) e. m. y f:M-->F una aplicación continua definida en M⊂E. Si K⊂M es compacto entonces f es uniformemente continua sobre K.

Demostración:

• Dado ε>0 y x∈K elegimos δx>0 tal que si d(x,y)<δx, para y∈M, tengamos ρ(f(x),f(y))<ε/2. Los conjuntos B(x, δx/2) cubren K y son abiertos. Por tanto, existe un cubrimiento finito B(x1, δx1/2),...,B(xn, δxn/2) que cubre a K.
• Sea δ=mín{δx1/2,...,δxn/2}. Si y∈K y d(x,y)<δ, existe xi tal que d(x,xi)<δxi/2 (porque las bolas cubren K) y entonces: d(xi,y)≤d(xi,x)+d(x,y)<δxi/2+δ<δxi.
• Por lo tanto, ρ(f(x),f(y))≤ ρ(f(x),f(xi))+ ρ(f(xi),f(y))<ε/2+ε/2=ε.

Et voilà.