Completitud en espacios métricos.

Ayer prometía una bonita proposición, así que aquí la traigo:

Todo subconjunto completo M⊆(E,d) es cerrado, y si (E,d) es completo, todo subconjunto cerrado de E es completo.

A por la demostración:

• Sea M⊆(E,d) completo. Sea Xn⊆M una sucesión convergente a x∈E. Tenemos que probar x está en M (recordemos que un conjunto es cerrado si y solo si el límite de toda sucesión convergente del conjunto está en dicho conjunto). Como Xn es convergente en E, es por tanto, de Cauchy (tanto en E como en M, pues la distancia entre los términos no varía de E a M). Por ser M completo, Xn tiene que converger a y∈M. Como el límite es único--->x=y∈M. M es cerrado.

• Probaremos la segunda parte de la proposición: Suponemos E completo y M⊆(E,d) cerrado. Sea Xn⊆M una sucesión de Cauchy en M. Si la "miramos" en E también será de Cauchy, luego está claro que por ser E completo, Xn convergerá a x∈E. Ahora bien, M es cerrado, así que el límite de Xn tiene que quedarse en M, por tanto M es completo (toda sucesión de Cauchy es convergente).

Las nociones de sucesión de Cauchy y espacio métrico completo no son topológicas. ¿Qué quiere decir esto? Que puede haber dos distancias equivalentes sobre el mismo conjunto E que no den lugar a las mismas sucesiones de Cauchy, de forma que E sea completo para una distancia y no lo sea para la otra. En espacios normados esto no ocurre (gracias a la proposición importantilla de ayer. Recordemos que el hecho de que dos distancias sean equivalentes no implica que se cumpla la desigualdad a||x||≤||x||'≤b||x||).

Teorema: Si ||·|| es una de las tres normas usuales de Rn (que estuvimos manejando ayer), entonces (Rn,||·||) es completo.

Prueba:

• Vamos a probar, por ejemplo, que (Rn, ||·||∞) es completo.
• Sea xk sucesión de Cauchy en (Rn, ||·||∞). Dado ε>0 existe k0∈N tal que si k,m>k0 ||xk-xm||≤ε. Tomamos ahora xk=(xk¹,xk²...) con i=1,2...n. Tenemos entonces lo siguiente: |xkⁱ-xmⁱ|≤||xk-xm||∞≤ε (esto se debe a que ||xk-xm||∞=máx{|xkⁱ-xmⁱ|, i=1...n.}) para todo k,m>k0.
• Esto significa que la sucesión xnⁱ es de Cauchy. Como R es completo, las sucesiones de las coordenadas son convergentes, esto es, para cada i existe xⁱ=lim(xkⁱ) y por tanto xk converge hacia (x¹,x²...) con i=1,2...n.

Definición: El diámetro de un subconjunto A de un e.m. (E,d), por defición es el supremo.
diam(A)=sup{d(x,y);x,y∈A}≤+∞.
Un subconjunto M de E se dice que es acotado si diam(A)<∞.

#Si A es acotado, dado x0∈A existe r>0 : A⊆B(x0,r).

Prueba:

• diam(A)=K<∞. x0∈A, r=K. A⊆B(x0,r).
• A⊆B(x0,r). diam(B(x0,r))≤2r. Sean x,y∈A; d(x,y)≤d(x0,x)+d(y,x0)≤r+r=2r. Luego A está acotado.

No es cierto en general que dos métricas equivalentes definan los mismos conjuntos acotadas, pero esto sí ocurre en un espacio normado (debido a la proposición bendita que antes ya hemos mencionado).

Teorema de Cantor: Sea (E,d) un e.m. completo. Toda sucesión decreciente de conjuntos cerrados no vacíos, Cn⊆E que cumpla lim(diam(Cn))=0 tiene intersección no vacía.

Demostración:

• Para cada n elegimos xn∈Cn. Probemos primero que la sucesión es de Cauchy. Dado ε>0, como lim(diam(Cn))=0 existe n0 tal que diam(Cn)<ε para todo n>n0. Si n,m>n0 tenemos que xn∈Cn⊆Cn0 y xm∈Cm⊆Cn0, y llegamos a que d(xn,xm)≤diam(Cn)≤ε.
• Como (E,d) es completo, xn es convergente hacia un punto de E. Cada Cn es cerrado y xk∈Cn para todo k>n, luego x∈Cn, esto es, la intersección de los Cn es no vacía, pues está x.

Después sigo.