Topología en espacios métricos (2).

Hoy seguimos el tema que dejamos ayer. Comenzamos con el concepto de frontera.

La frontera de M, ∂M, es el conjunto formado por los puntos adherentes a M que no son interiores a M (los bordes del intervalo, vamos). El exterior de M es el interior de su complementario, que coincide con el complementario de M|. Por ejemplo, si consideramos el conjunto M=[0,1]∈R. M⁰=(0,1); M|=[0,1]; ∂M=[0,1]\(0,1)={0,1};
extM=(-∞,0)∪(1,+∞).

Definición: Sea M⊂(E,d). Si para cada r>0 el conjunto B(x,r)∩M tiene infinitos elementos se dice que x es un punto de acumulación de M y se escribe x∈M'.

Ejemplo: A={1/n: n∈N}, los puntos de A son 1,1/2,1/3... y tienden a 0. Los puntos de A no son puntos de acumulación, puesto que puedo encontrar un r tal que B(x,r)∩A={x}, es decir, bolas que únicamente contengan a un elemento de A (y eso es contrario a la definición de punto de acumulación. El único punto de acumulación es el 0, ya que a partir de un término se cumple que |1/n -0|<ε, y esto sólo se da cuando el número de términos es infinito. Es claro que M'⊂M|, pues si x es un punto de acumulación, evidentemente estará en el cierre de M, pues M| contiene a todos los x tal que B(x,r)∩M es distinto del vacío, no sólo a los que hagan que la intersección tenga un número infinito de elementos.

Veamos que M| \M'⊂M: Sea x∈M| \M'; x∉M. Existe r>0: B(x,r)∩M={x1,x2...xn} con x distinto de x1,x2...xn. Además puedo encontrar un ε>0: B(x,ε)∩{x1,x2...xn}=∅ (ya que x1,x2...xn es una cantidad finita de elementos). y como x no está en M, B(x,ε)∩M=∅ Llegamos entonces a que x∉M|. Contradicción. Luego M| \M'⊂M.

A los puntos de M| \M' se les denomina puntos aislados. x es un punto aislado de M si hay algún r>0 tal que B(x,r)∩M={x}. Se verifica que M|=M⁰∪∂M=M∪M', donde la primera unión es disjunta.

Proposición: Si M⊂(E,d), M es cerrado si y solo si M'⊂M.

Demostración:

• Primero veamos que si M es cerrado, M'⊂M. Sabemos que M|=M∪M', y como M es cerrado, M|=M, luego M∪M'=M, es decir, al añadir M' no estoy añadiendo nuevos puntos a M, luego M'⊂M.
• Probemos el recíproco. Como M'⊂M, M^c⊂(M')^c. M|∩M^c⊆M|∩M^'c=(M∪M')∩M^'c⊆M (esto se debe a que M|=M∪M'). Pero entonces M|∩M^c=∅. Pues los puntos de M^c no están en M. Y como M|∩M^c=∅, y esto quiere decir que no hay ningún punto de M| que esté en M^c, luego los puntos de M| estarán en M, esto es, M|=M.

La última definición de hoy: Una sucesión Xn en un e.m. (E,d) es convergente hacia x∈E y se escribe limXn=x, si para cada subconjunto abierto U en E conteniendo a x, existe n0 tal que Xk∈U para todo k≥n0. Es decir, como x∈U abierto, existe ε>0: B(x,ε)⊆U.
En este caso dicho punto x, necesariamente único, se dice que es el límite de la sucesión.

Esta definición es equivalente a la siguiente: Para todo ε>0 existe n0 tal que si k≥n0 Xk∈B(x,ε).

Demostremos la doble implicación:

• Está claro que si se da la primera definición se da la segunda, pues ya dijimos ayer que toda bola abierta es un conjunto abierto (la bola abierta es un caso particular de conjunto abierto). Probemos entonces que la segunda implica la primera.
• Como U es abierto hay una bola B(x,ε)⊂U, y por la definición, a partir de un momento todos los términos estás en la bola, y en particular, dentro de U.

Para espacios normados, si Xn es una sucesión de (E,||·||), Xn converge a x si y solo si la sucesión de números reales ||Xn-x||-->0 cuando n-->∞.

El asunto sigue mañana.