Topología en espacios métricos (4).

Let's go on.

x es un punto de aglomeración de la sucesión Xn si y sólo si para cada ε>0 el conjunto {n∈N: Xn∈B(x,ε)} es infinito, esto es, si en la bola hay infinitos términos.

Demostración:

• Si x es un punto de aglomeración de Xn, existe una subsucesión de Xn que converge hacia x. Dado ε>0 existe k0∈N tal que si k>k0, entonces Xnk∈B(x,ε). Luego dentro de la bola se quedan infinitos términos.
• A por el recíproco. Sea ε=1, el conjunto{n∈N: Xn∈B(x,1)}≠∅, podemos elegir por tanto n1∈N: x1∈B(x,1). Tomemos ahora ε=1/2, el conjunto {n∈N: Xn∈B(x,1/2)} es infinito, así que podemos coger un n2>n1 tal que x2∈B(x,1/2). Respitiendo este proceso voy consiguiendo una sucesión creciente de números naturales n1, n2, n3...nk... tal que una subsucesión Xnk∈B(x,1/k).

Dos métricas, d y d', definidas sobre un mismo conjunto E se dice que son equivalentes si definen la misma topología sobre E.
Dos normas, ||·|| y ||·||', sobre un mismo espacio vectorial se dice que son equivalentes cuando las distancias asociadas lo son.

Dos métricas sobre un conjunto son equivalentes si y solo si tienen las mismas sucesiones convergentes y convergen al mismo límite. Es decir, Xn d-converge a x∈E si y solo si Xn d'-converge a x.

Prueba:

• Partimos de que d y d' son métricas equivalentes (tienen por tanto los mismos conjuntos abiertos). Sea Xn d-convergente a x∈E. Sea U d'-abierto, x∈U. U es también d-abierto, así que existe un n0 a partir del cual Xn∈U. Por tanto Xn d'-converge tambiém a x.
• Suponemos F⊆E d-cerrado. Sea Xn⊆F, Xn d'-converge a x∈E, y por hipótesis Xn d-converge a x∈F (porque F es cerrado). Luego F es también d'-cerrado. d y d' son equivalentes.

La distancia asociada a la norma d(x,y)=||x-y|| es invariante por translaciones: d(x,y)=d(a+x,a+y). La distancia también se comporta bien con las homotecias respecto al origen: d(ax,by)=ab·d(x,y). Y otra propiedad que diferencia a las normas de las métricas generales es la que da el siguiente resultado:

Proposición importantilla:Sea E un e.v. sobre K y ||·||, ||·||' dos normas sobre E. Una condición necesaria y suficiente para que las dors normas seas equivalentes es que existan dos constantes a,b>0 tal que a||x||≤||x||'≤b||x|| para todo x∈E.

Probémoslo:

• Veremos primero la condición necesaria. Supongamos que las dos normas son equivalentes. Como las topologías de ambas normas tienen los mismos abiertos, la bola abierta B(0,1) respecto de ||·|| ha de ser un conjunto abierto respecto de ||·||'. En particular, como el 0 está contenido en la bola B(0,1) respecto de ||·||, existe r>0 tal que B(0,r)(||·||')⊆B(0,1)(||·||).

• Sea a∈R con a

• Veamos la condición suficiente, esto es, que si se cumple a||x||≤||x||', todo abierto para ||·|| es abierto para ||·||'.
  

• Sea r>0 y x∈B(c,a·r)(||·||'), es decir, ||x-c||'

• Consideramos C abierto para ||·|| y c∈C. Eciste r>0 tal que B(c,r)(||·||)⊆C. Pero esntonces también se cumple que B(c,a·r)(||·||')⊆C. Luego llegamos a que C es ||·||'-abierto.

En el caso de espacios métricos en general, si d y d' son métricas de E, si existen a,b>0 con a·d(x,y)≤d'(x,y)≤b·d(x,y) entonces d y d' son equivalentes. Sin embargo, el hecho de que sean equivalentes no implica que existan a y b que cumplan la desigualdad. Veamos un ejemplo de que no se cumple:

Consideramos la métrica del valor absoluto y la métrica acotada, p. La métrica del valor absoluto es equivalente a p pero no existe a>0 tal que a·d(x,y)≤p(x,y) para todo x e y.

Las normas ||·||1 y ||·||∞ aunque no proceden de un producto escalar (al contrario que ||·||2), también definen la topología usual de Rn. Basta aplicar la proposición anterior teniendo en cuenta las desigualdades:

1. ||x||∞≤||x||2≤sqrt(n)||x||∞
   
2. 1/sqrt(n) ·||x||1≤||x||2≤sqrt(n)||x||1

Pruebas:

• Recordamos que ||x||∞=max{|xi| con i=1,2...}. |xi|=sqrt(xi²)≤sqrt(x1²+...+...xi²+...xn²)=||x||2.
• ||x||2=sqrt(x1²+...+...xi²+...xn²)≤sqrt(||x||∞²+...+...||x||∞²+...||x||∞²)=sqrt(n)||x||∞.
• Para demostrar 1/sqrt(n) ·||x||1≤||x||2 utilizamos la desigualdad de Cauchy Schwarz. Sea x∈Rn, tomamos a∈Rn tal que ai·xi=|xi| (luego a=+1,-1). ||xi||1=sum|xi|=sum(ai·xi)=≤||a||2·||x||2=sqrt(n)·||x||2.
• ||x||2=sqrt(x1²+...+xn²)≤sum(xi)=||x||1.

Corolario: En (Rn, ||·||2), limXn=x si y solo si la convergencia es coordenada a coordenada.

Demostración:

• Supongasmo que (xn,yn)------>(x,y). Entonces d∞((x,y),(xn,yn))=max{|xn-x|,|yn-y|} y esto tiene que tender a 0. La única forma es que tanto |xn-x| como |yn-y| tiendan a 0.

Para acabar introduciré algunos nuevos relacionados con la completitud.

Recordaré que la noción de completitud, esto es, que toda sucesión de números reales que sea de Cauchy es convergente, equivale al Principio de encaje de Cantor y éste al axioma del supremo (todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene un supremo). Sobre (San) Cantor hablaremos más adelante.

Sea (E,d) un e.m. Una sucesión Xn en E se dice que es de Cauchy si dado ε>0 existe un número natural n0 tal que si k,n>n0 entonces d(xnk,xn)≤ε.

#En un espacio métrico toda sucesión de Cauchy es acotada y toda sucesión convergente es de Cauchy, pero el recíproco generalmente es falso.

Un e.m. se dice que es completo si y solo si toda sucesión de Cauchy en E es convergente. Cuando un espacio normado es completo se le denomina espacio de Banach.

Sea M un subconjunto del e.m. (E,d), la restricción MxM de la distancia d es una distancia en M que denotaremos dM. Si el espacio (M,dM) es completo diremos que M es un subconjunto completo de E.

Creo que hoy me puse bien las pilas. Mañana seguimos con una bonita proposición.