Compacidad en espacios métricos (3) y conexión

Informo de que esta es la penúltima entrada del capítulo.

Ya vimos que en un e.m. los conjuntos compactos son cerrados y acotados, pero el recíproco no es cierto en general. El teorema siguiente establece que en Rn con la norma euclídea el recíproco sí que se cumple.

Teorema de Heine-Borel-Lebesgue: Un subconjunto K de Rn es compacto para la topología usual si y sólo si es cerrado y acotado.

Prueba:

• Sólo queda realizar la segunda aplicación, así que allá vamos.
• Si K es acotado, existe r>0 tal que K⊂B(0,r)⊂B(0,r)∞=[-R.R]x...x[-R,R]. Probaremos que [-R,R]ⁿ es compacto, y como K es cerrado y ⊂[-R,R]ⁿ será por tanto, compacto. Haremos la prueba para n=2 y usaremos que un conjunto es compacto si y solo si es sucesionalmente compacto. (a¹ y a² denotan cada una de las coordenadas de la sucesión).
  

• Sea (Xm)∞=(Xm¹,Xm²)∞∈[-R,R]x[-R,R]. Como (Xm¹)∞⊂[-R,R]x[-R,R], es compacto. Existe entonces (Xmj¹)∞ subsucesión de (Xm¹)∞ convergente hacia un punto x¹∈[-R,R].

• La sucesión (Xmj²)∞⊂[-R,R]. Existe una subsucesión (Xmjk²)∞ convergente a un punto x²∈[-R,R].

• Como (Xmj¹)∞ converge hacia x¹, puedo coger los términos que yo quiera de esta susubsucesión y construirme otra subsucesión que también va a converger a x¹. Para que en [-R,R]x[-R,R] una sucesión converja, tienen que converger cada una de las coordenadas por separado pero con los mismo índices. Es por eso que voy a elegir unos términos determinados de (Xmj¹)∞. Me voy a quedar con la subsucesión (Xmjk¹)∞ (que converge a x¹).

• Entonces tenemos que la subsucesión (Xmjk)∞=(Xmjk¹,Xmjk²) converge a (x¹,x²) y es subsucesión de (Xm)∞.
  

• [-R,R] es sucesionalmente compacto (cada sucesión de [-R,R] tiene una subsucesión convergente a un punto de [-R,R]), y por tanto, es compacto.
  

Pasamos a la conexión:

Un conjunto M de un e.m. E se dice que es conexo cuando para toda partición no trivial de él: M=S∪T, S∩T=∅, S≠∅, T≠∅, se tiene S∩T|≠∅ o S|∩T≠∅. Es decir, el conjunto es conexo si no está "roto", como explicaré en la nota.

En particular, si M=E obtenemos la noción de e.m. conexo.

Hay que tener en cuenta que en esta definición no interviene la métrica del espacio sino su topología.

Nota: Otra forma de ver la conexión es que un conjunto conexo M⊂E no se puede escribir como la unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos. Si fueran S,T abiertos en E con M=S∪T, S∩T=∅, S≠∅, T≠∅, por ser M conexo podemos suponer que S∩T|≠∅. Sea x∈S∩T|. Como S es abierto, existe ε>0 tal que B(x,ε)⊂S y como además x∈T|, B(x,ε)∩T≠∅ lo cual implica que S∩T≠∅, y esto es una contradicción.

El primer ejemplo de conjuntos conexos lo encontramos en R: Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.
Recordemos que un intervalo queda definido de la siguiente forma: (a,b)={x∈R: a<sxd<ibi}.

Los espacios Rn son conexos. En e.m. arbitrarios se demuestra que la unión arbitraria de conjuntos conexos tales que cada dos de ellos tienen intersección no vacía, es un conjunto conexo. Además, la clausura de un conjunto conexo vuelve a ser un conjunto conexo.

Mañana o después veremos una caracterización importante de los e.m. conexos.