Compacidad en espacios métricos.

Hoy, si voy a buen ritmo, termino con análisis. Y ya vuelvo a con él el martes.

Vamos a comenzar fuerte con una de las formulaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass: Sea K⊂(E,d) un conjunto compacto. Entonces

1. K es cerrado.
2. K es acotado.
3. Si F⊂K es cerrado, F es compacto.

Pruebas varias:

• 1. Consideramos G=E\K. Probaremos que G es abierto. Sea x∈G y los conjuntos abiertos Un={y∈E : d(x,y)>1/n para todo n}=B^c(x,1/n). Es decir, en Un están todos los puntos y que están fuera de la bola B(x,1/n). Vemos que a mayor n, esta bola es más pequeña, luego Un es cada vez más grande.

• Como todos los y∈K son distintos de x, tenemos que d(x,y)>0, habrá por tanto algún n tal que y∈Un. Así, K⊂∪Un (desde n=1 hasta infinito). Como K es compacto se puede extraer un cubrimiento finito, así que K⊂Un1∪Un2∪...Unk.
• Sea ahora N el máximo de los n1, n2...nk. U=B^c(x,1/N) es el mayor de los Un, luego es claro que K⊂U. Pero entonces, como G es el complementario de K, y B(x,1/N) el complementario de U, tenemos que B(x,1/N)⊂G. Esto quiere decir que para todo x puedo encontrar una bola con centro x que esté contenida en G, esto es, G es abierto (K es cerrado).
  

• 2. Sea x0∈K, la familia {B(x0,n) con n∈N} es un cubrimiento abierto de K. Como K es compacto ha de tener un cubrimiento finito, K⊂∪B(x0,nj) (desde k=1 hasta j=k). Sea M el máximo de los n1,n2...nn, entonces K⊂B(x0,M), luego diam(K)≤2M, esto es, K está acotado.

• 3. Sea {Ui} un cubrimiento abierto de F. Consideramos G=E\F, que es abierto (por ser F cerrado). Entonces [{Ui,G} cubre a K. Por ser K compacto podemos extraer un cubrimiento finito de K, que será de la forma {Ui1,Ui2...Uin,G}. Luego{Ui1,Ui2...Uin} cubre a F. F es compacto.

Definición: Un subconjunto A⊂(E,d) de un e.m. decimos que es sucesionalmente compacto si de toda sucesión de A podemos extraer una subsucesión convergente a un punto de A.

Proposición: Sea K⊂(E,d) un conjunto sucesionalmente compacto. Entonces:

1. K es cerrado.
2. K es acotado.
3. Si F⊂K es cerrado, F es compacto.

Además, K es sucesionalmente compacto si y solo si todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulación en K (es decir, un punto x tal que B(x,r)∩K=infinito). (me falta escribir esta demostración).

Otras tantas pruebiñas:

• 1. Veamos que K es cerrado. Si no lo fuese, K^c sería cerrado por lo que existiría algún x∈K^c tal que B(x,ε) no está contenido en K^c para cualquier ε>0. Es decir, que hay puntos en el intervalo (x-ε, x+ε) que están en K. Si tomamos ε=1/n, para cada n existirá yn∈K con d(yn,x)<1/n, o lo que es igual, yn⊂(x-1/n,x+1/n). De la sucesión de puntos (yn) podemos encontrar una subsucesión (ynk) convergente a un punto y de K (hipótesis). Pero resulta que la sucesión (yn) converge a x, pues cuanto mayor es n, menor es la distancia entre los términos de la sucesión y x. Como (ynk) es subsucesión de yn, también converge a x. Como el límite de una sucesión (en este caso subsucesión) es único llegamos a que x=y. Luego x está en K, que es una contradicción. Concluimos que K entonces tiene que ser cerrado.

• 2. Si no fuese acotado, para cualquier n existiría Xn∈K con |Xn|>n. Por hipótesis podemos encontrar una subsucesión Xnk convergente a un punto de K, y por ser convergente, es acotada, por lo que entramos en una contradicción. K es por tanto acotado.

• 3. Probaremos que F está acotado. Si no lo fuese, para cualquier n existiría Xn∈F con |Xn|>n. Consideramos Xn⊂F. Como Xn también está contenida en K, sabemos que existe una subsucesión Xnk⊂K que converge a x∈K. Pero como (Xnk)⊂(Xn), Xnk⊂F, y como F es cerrado, Xnk converge a un punto de F (que coincide con x, pues el límite es único). Contradicción, porque si es convergente, es acotada. Luego F es acotado, y por ser también cerrado, es compacto.

Mañana (o en un rato) añado lo último que me falta, otro teorema de los señores Bolzano y Weierstrass, que es bastante largo y su correspondiente demostración.