Compacidad en espacios métricos (2).

Teorema de Bolzano Weierstrass: Sea (E,d) un e.m. y K⊂E un subconjunto, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. K es compacto.
2. K es sucesionalmente compacto.

Demostración:

• 1 implica 2. Sea Xn⊂K, supongamos que no tiene ninguna subsucesión convergente. En particular, esto implica que la sucesión tiene infinitos puntos distintos yk, que podemos tomar como subsucesión de Xn.

• Además, para todo k∈N existe un entorno abierto Uk que contiene a yk tal que yj∉Uk si j≠k. Probemos esto: Si no fuera así habría de existir un k tal que cualquier entorno abierto de yk contiene a un yj. Tenemos, en particular, que para cualquier m∈N existe un jm∈N con yjm∈B(yk,1/m). Podemos extraer una subsucesión (yjm)∞ de (yn)∞ cumpliendo que d(yk,yjm)<1/m,styipara cualquier imi∈N, lo que implica que la sucesión yjm converge a yk, contrario a la hipótesis por ser yjm subsucesión de Xn.

• El conjunto {y1, y2...yn...} no tiene ningún punto de acumulación (ya que podemos hacer bolitas de centro y1, y2... que sólo contienen a y1, y2... Recordemos que M|=M∪M'. Como no hay ningún punto de acumulación, M|=M, y esto implica que M es cerrado. Luego {y1, y2...yn...} es cerrado. Además, como está en K, que es compacto, {y1, y2...yn...} también es compacto. La familia {Uk}∞ es un recubrimiento abierto de {y1, y2...yn...} que no admite un cubrimiento finito debido a que {y1, y2...yn...} es infinito y a que demostramos que para todo k∈N existe un entorno abierto Uk que contiene a yk tal que yj∉Uk si j≠k. Esto es una contradicción, pues {y1, y2...yn...} es compacto. Por tanto Xn tiene una subsucesión convergente y como K es cerrado, el límite está en K.

• 2 implica 1. Sea {Ui} un cubrimiento abierto de K. Existe r>0 tal que para todo y∈K, B(y,r)⊂Ui para algún I. Si no fuese así para todo n existiría yn∈K de manera que B(yn,1/n) no está contenida en ningún Ui. Pero por hipótesis la sucesión yn ha de tener una subsucesión (zn) convergente a z∈K. Como {Ui} recubre a K, z∈Ui0 para algún i0. Como Ui0 es abierto existe ε>0 tal que B(z,ε)⊂Ui0. Podemos tomar N lo suficientemente grande para que d(zN,z)<ε/2 y 1/N<ε/2. Entonces B(zN,1/N)⊂Ui0. Contradicción.

• Para cualquier ε>0 existe {y1, y2...yn}⊂K tal que K⊂∪B(yk,ε). Supongamos que existe ε tal que K no se pueda cubrir con un número finito de bolas abiertas de radio ε. Elegimos y1∈K arbitrario y tomamos y2∈K\B(y1,ε)≠∅. Por hipótesis podemos repetir el proceso y así elegir yn∈K\[B(y1,ε)∪...∪B(yn-1,ε)]. La sucesión así formada cumple que d(yj,yk)≥ε para j≠k y por tanto no admite subsucesiones convergentes, lo cual contradice el hecho de que K es sucesionalmente compacto.

• Para terminar, sea r>0 y sean {y1...yn} para ε=r. Así K⊂∪k B(yk,ε) (desde k=1 hasta k=n) y como B(yk,ε)⊂Uik para algún ik tenemos que K⊂Ui1∪...Uin, que es el cubrimiento finito que buscamos.

Ála, ya llevo análisis al día.