Topología en espacios métricos (3).

Tras este tiempo sin repasar nada de análisis, volvemos por donde lo dejamos.

Proposición(I): Un punto x es adherente a M⊂E si y solo si es límite de alguna sucesión contenida en M.

Demostrémoslo:

• Si x∈M| para todo n B(x,1/n)∩M ≠ ∅. Podemos elegir para cada n, Xn∈B(x,1/n)∩M y entonces d(x,Xn)<1/n.iPor tanto Xn converge a x.i
  
• Probemos el recíproco. Sea Xn∈M cuyo límite es x. Sea U abierto con x∈U, por definición de límite, existe n0 tal que si n>n0, Xn∈U, y esto implica que U∩M≠∅, es decir, x es un punto adherente a M.

Proposición(II): Un punto x es un punto de acumulación de M⊂E si y solo si es límite de alguna sucesión contenida en M\{x}. Quitamos el x porque si x está en la sucesión y además es el límite, la sucesión sólo puede ser una sucesión constante en la que todos los términos son el x. Pero entonces no se cumpliría el recíproco que diría que si x es límite de alguna sucesión contenida en M, x es un punto de acumulación.

• Si x∈M' para todo n B(x,1/n)∩M=∞. Podemos elegir para cada n, Xn∈B(x,1/n)∩M (lo elegimos con x∉Xn, y podemos hacer esto porque la intersección está formada por un número infinito de elementos) y entonces d(x,Xn)<1/n.iPor tanto Xn converge a x.i

• Sea Xn∈M\{x} cuyo límite es x. Sea U abierto con x∈U, por definición de límite, existe n0 tal que si n>n0, Xn∈U. Como la sucesión no puede ser constante (es decir, que todos los términos sean x) tenemos que Xn obligatoriamente está formada por infinitos números distintos, luego U∩M=∞. x es por tanto un punto de acumulación de M.

Un conjunto F⊂(E,d) es cerrado si y solo si toda sucesión Xn⊂F convergente tiene su límite en F.

Prueba:

• Suponemos que F es cerrado y sea Xn una sucesión de F convergente hacia x. Si x∉F, x∈E\F, y como este conjunto es abierto existe r>0 tal que B(x,r)⊂E\F. Como el límite es x, existe n0 tal que si n>n0 Xn∈B(x,r), y esto nos lleva a que Xn∉F. ¡Absurdo! x está en F.
• Sea x∈E\F=:G. Si G fuese cerrado, podríamos elegir una sucesión Xn∈B(x,1/n) de forma que la sucesión no estuviese contenida en G. Xn entonces pertenecería a F y además ||x-Xn||<1/n,tyes decir, Xn tiende a x.j.y por hipótesis x∈Fy. Luego G es abierto.
  

Definición: Sea Xn una sucesión en E. Si n1<in2o... es una sucesión infinita creciente de números naturales, a Xnk le llamaremos subsucesión de Xn.
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La última proposición de hoy: Si la sucesión Xn de E converge hacia x, cada subsucesión de Xn también.
Prueba:

Dado ε>0 existe n0∈N tal que si n>n0, d(Xn,x)<ε. Consideramos ahora Xnk subsucesión de Xn. Sea k0∈N tal que n0k>n0, entonces si k>k0 tenemos que d(Xnk,x)<ε.

Para acabar diremos que x∈E es un punto de aglomeración de la sucesión Xn si x es límite de alguna subsucesión de Xn.

Mañana y pasado a ver si sigo con esto y lo consigo poner al día, que se me está acumulando la tarea.