Límites y continuidad (3)

Antes de seguir conviene distinguir que dado A⊂M no es lo mismo decir que f es continua en cada a∈A que decir que f|_{A es continua}. La primera implica la segunda, pero el recíproco es falso. Veamos esto con un ejemplo:

• Sea A=Q (el conjunto de los números racionales)
• Sea f(x)=0 si x∈Q y f(x)=1 si x∈R\Q.
• Entonces tenemos que , como f|_A: A=Q-->R, f|_A=0 en todo su dominio. Esta función es constante, así que está claro que f|_A es continua.
• En cambio, f: R-->R no es continua en A, pues entre dos puntos racionales siempre hay un irracional y f iría dando saltos del 0 al 1.
  
• Vemos así que a la hora de describir el comportamiento de una función es de vital importancia que nos fijemos en el dominio.

Proposición: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y f: M-->F. Son equivalentes:

1. f es continua.
2. Para cada abierto V⊂F existe un abierto U⊂E tal que f ^-1(V)=M∩U, es decir, la antiimagen de un abierto en F es un abierto relativo en M.
3. La antiimagen de un cerrado en F es un cerrado relativo en M.
4. f(A|∩M)⊂f(A)| para cada A⊂M.

De momento sólo pongo una de las pruebas:

• 1 implica 2: Sea x∈ f^-1(V). Sea y=f(x). Como V es abierto puedo construir una bola B(y,ε)⊂V. Como f es continua, dado ε>0 existe un δ>0 tal que f(B(x,δ)∩M)⊂B(y,ε)⊂V.
• U=∪ _x∈_f-1(V) B(x,δx) (δx son los distintos δ). U∩M=f^-1(V).

Otra proposición: Si f,g: M⊂(E,d)-->(F,||·||) y alfa:M-->R y existen lím_x->a f(x), lím_x->a g(x) y lím_x->a alfa(x) entonces:

1. Existe lím_x->a (f(x)+g(x))=lím_x->a f(x)+lím_x->a g(x).
2. Existe lím_x->a (alfa(x)·g(x))=lím_x->a alfa(x)·lím_x->a g(x).
3. Si lím_x->a alfa(x)≠0, existe lím_x->a (alfa^-1(x)·g(x))=(lím_x->a alfa(x))^-1·lím_x->a g(x).
4. Si f:E-->R^m, f=(f1,f2...fm) donde f1: E-->R son las funciones coordenadas, entonces f es continua en a si y sólo si cada fi es continua en a.
5. Si la norma de F es la asociada al producto escalar <·,·>, entonces también existe el límite lím_x->aii),ig(x)>i=<lím_x->a f(x), lím_x->a g(x)>.

Demostración de 5: (tengo que revisarla, que hay algo que no me cuadra).

• Sea l=lím_x->a f(x) y k=lím_x->a g(x). Veamos que<ill,k>es el límite de i<if(xi),g(x)>iiicuando x-->a.
• |i<if(xi),g(x)>i-i<ill,k>i|=|if(x)i-li,g(x)-k>| ≤||f(x)-l||·||g(x)-k|| (esta última desigualdad es por la desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Regla de la cadena: Sean (Ej,d,), 1≤j≤3, tres e. m. y Mj⊂Ej para j=1,2. Sea f: M1-->M2 una aplicación con límite b∈M2 cuando x-->a∈M1'. Si g: M2-->E3 es continua en b entonces existe lím_x->a g(f(x))=g(b).
Si además a∈M1 y f es continua en a entonces gof (g compuesta con f) es continua en a.

Sigo en otra entrada.