Límites y continuidad (2)

Continuamos con el capítulo (aunque hoy será breve).

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y a∈M'. f: M-->F y b∈F. Entonces, lím_x->a f(x)=b si y solo si para cualquier sucesión (xn)⊂M, con xn distinto de a y lím _n->∞ xn=a se tiene que lím _n->∞ f(xn)=b.

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E. Una aplicación f: M-->F es continua en a∈M cuando para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [para todo x∈M, con d(x,ia)<iδ]ise tiene que ρi(f(x),f(a))i>ε.
En estas condiciones, si además a∈M', entonces f(a)=lím_x->a f(x). Diremos que f es continua cuando lo sea en todo su dominio.

Proposición: Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E, a∈M y f: M-->F. Son equivalentes:

1. f es continua en a.
2. lím _n->∞f(xn)=f(a) para cada sucesión (xn) de M convergente a a.
3. Para cada A⊂M con a⊂A| se cumple f(a)∈f(A)|.

Algunas demostraciones:

• 2 implica 3. Sea A⊂M, a⊂A|. Entonces existe una sucesión (xn)⊂A tal que xn converge a a. Por hipótesis f(xn) converge a f(a) y esto implica que f(a)∈{f(xn) n∈N}
• 2 implica 1. Supongamos que f no es continua en a, es decir, existe un ε>0 para todo n∈N tal que existe una sucesión xn⊂B(a,1/n) de modo que f(xn)∉B(f(a)ε). Pero esto contradice nuestra hipótesis. ¡Absurdo!
• 3 implica 2. Sea (xn)⊂M, xn-->a entonces, por hipótesis, a∈{xn: n∈N}| implica que f(a)∈{f(xn): n∈N}|. Supongamos que f(xn) no converge a f(a). Entonces existe un ε>0 tal que para todo n∈N existe m>n tal que f(xm)∉B(f(a)ε).
• n=1. Existe n1>1 tal que f(xn1)∉B(f(a)ε).
• n=n1. Existe n2>n1 tal que f(xn2)∉B(f(a)ε)...
• Es decir, tenemos que xn converge a a y que f(xn) no está en la bola B(f(a),ε). Pero si aplico la hipótesis al nuevo conjunto tengo que a∈{xnk: k∈N}| pero f(a)∉{f(xnk): n∈N}|. ¡Contradcicción!

Además, es claro que si a es un punto aislado de M, toda aplicación f:M-->F es continua en a.

Y hasta aquí.