lunes, 28 de septiembre de 2009

Espacios métricos. Producto interior

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A partir de ahora trabajaremos en Rn. A los elementos de Rn los denominaremos puntos o vectores (estarán en negrita).

En primer lugar definiremos 3 conceptos fundamentales:
  • Norma: ||X||=sqrt Σ(Xi)²
  • Distancia: d(X,Y)=||X-Y||= sqrt Σ(Xi-Yi)²
  • Producto interior (o escalar): <X,Y>=ΣXi·Yi
Pasamos a enunciar sus respectivas propiedades.

  1. N- ||X||≥0 y es 0 si, y solo si X=0.
  2. N- ||a·X||=a·||X|| con a=constante.
  3. N- ||X+Y||≤||X|| +||Y|| (Des. Triangular).
  1. D- d(X,Y)≥0 y es 0 si, y solo si X=Y.
  2. D- d(X,Y)= d(Y,X).
  3. D- d(X,Y)≤ d(X,Z)+ d(Z,Y) (Des. Triangular).
  1. P- <X,X>≥0 y es 0 si, y solo si X=0.
  2. P- <X,Y>= <Y,X>.
  3. P- ·X+b·Y,Z>= a·<X,Z>+ b·<Y,Z>.

Las propiedades que quizás son sean muy obvias son la 3.N y la 3.P, y las vamos a demostrar probando previamente la desigualdad de Cauchy-Schuarz:

|<X,Y>|≤||X||·||Y||

Probaremos ahora la propiedad 3.N, haciendo uso de que ||X||²=<X,X>.
Apoyándonos en esta última demostración probaremos la propiedad 3.D:

d(X,Y)=||x-y||=||x-z + z-y||≤||x-z||+||z-y||=d(X,Z)+d(Z,Y).

Una vez conocidos estos conceptos y sus propiedades, podemos empezar a profundizar en el tema de espacios métricos.

Un espacio métrico (M,d) es un conjunto M dotado de una función d:MxM-->R que cumple las propiedades 1.D, 2.D y 3.D. La función d se denomina métrica. Vienen aquí algunos ejemplos de espacios métricos:
  1. R con la métrica d(X,Y)=|X-Y|, que es la que hemos estado tomando nosotros.
  2. La métrica discreta: Se define d(X,Y)=0 si X=Y y d(X,Y)=1 si X es distinto de Y.
  3. Métrica acotada: La función definida por la expresión p(X,Y)=mín{1,d(X,Y)} es una métrica y cumple p(X,Y)≤1 para todo X e Y.
Demostración de 2:
Demostración de 3:
C'est fini. Continúo mañana con los espacios normados.

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