A partir de ahora trabajaremos en Rn. A los elementos de Rn los denominaremos puntos o vectores (estarán en negrita).
En primer lugar definiremos 3 conceptos fundamentales:
- Norma: ||X||=sqrt Σ(Xi)²
- Distancia: d(X,Y)=||X-Y||= sqrt Σ(Xi-Yi)²
- Producto interior (o escalar): <X,Y>=ΣXi·Yi
- N- ||X||≥0 y es 0 si, y solo si X=0.
- N- ||a·X||=a·||X|| con a=constante.
- N- ||X+Y||≤||X|| +||Y|| (Des. Triangular).
- D- d(X,Y)≥0 y es 0 si, y solo si X=Y.
- D- d(X,Y)= d(Y,X).
- D- d(X,Y)≤ d(X,Z)+ d(Z,Y) (Des. Triangular).
- P- <X,X>≥0 y es 0 si, y solo si X=0.
- P- <X,Y>= <Y,X>.
- P- ·X+b·Y,Z>= a·<X,Z>+ b·<Y,Z>.
Las propiedades que quizás son sean muy obvias son la 3.N y la 3.P, y las vamos a demostrar probando previamente la desigualdad de Cauchy-Schuarz:
|<X,Y>|≤||X||·||Y||
- Supongamos X,Y distintos de 0, pues si alguno es 0 está claro que se cumple la desigualdad (0=0). Tenemos entonces que <X,X>>0 y <Y,Y>>0. Para cualquier constante a se cumple lo siguiente:
- 0≤<a·X+Y,a·X+Y>= <a·X,a·X+Y>+<Y,a·X+Y>= <a·X,a·X>+<a·X,Y>+<Y,a·X>+<Y,Y>= a²<X,X>+2a<X,Y>+<Y,Y>
- Esto vemos que tiene pinta de ecuación cuadrática. Si consideramos A=<X,X>, B=2<X,Y> y C=<Y,Y>, ya la tenemos, pues nos queda: 0≤Aa²+Ba+C. Si derivamos esta ecuación llegamos a que -B/2A≤a, en -B/2A tiene un mínimo. A continuación sustituimos en la ecuación: 0≤A(-B/2A)²+ B(-B/2A)+C y nos queda que B²/4A≤C; B²≤4AC.
- Sustituimos B,A y C por sus valores originales: B²≤4AC; 4(<X,Y>)²≤4<X,X>·<Y,Y>; (<X,Y>)²≤||X||²·||Y||² Tomo raices cuadradas a ambos lados y nos queda |<X,Y>|≤||X||·||Y||.
- ||X+Y||²=<X+Y,X+Y>=<X,X>+2<X,Y>+<Y,Y> Como el valor absoluto de un número es siempre mayor o igual que dicho número, <X,Y>≤|<X,Y>| y decimos entonces ||X+Y||²≤<X,X>+2|<X,Y>|+<Y,Y>≤||X||²+2||X||·||Y||+||Y||²=(||X||+||Y||)².
- Tomando raices cuadradas obtenemos ya el resultado ||X+Y||≤||X||+||Y||.
d(X,Y)=||x-y||=||x-z + z-y||≤||x-z||+||z-y||=d(X,Z)+d(Z,Y).
Una vez conocidos estos conceptos y sus propiedades, podemos empezar a profundizar en el tema de espacios métricos.
Un espacio métrico (M,d) es un conjunto M dotado de una función d:MxM-->R que cumple las propiedades 1.D, 2.D y 3.D. La función d se denomina métrica. Vienen aquí algunos ejemplos de espacios métricos:
- R con la métrica d(X,Y)=|X-Y|, que es la que hemos estado tomando nosotros.
- La métrica discreta: Se define d(X,Y)=0 si X=Y y d(X,Y)=1 si X es distinto de Y.
- Métrica acotada: La función definida por la expresión p(X,Y)=mín{1,d(X,Y)} es una métrica y cumple p(X,Y)≤1 para todo X e Y.
- 1.D y 2.D es obvio que se cumplen. Vamos a por la 3.D. Supongamos que X es distinto de Y, luego d(X,Y)=1. Si X=Z , Y es distinto de Z (ya que Y es distinto de X) y tendríamos que 1≤0+1, que es cierto. Si X es distinto de Z, tendríamos dos posibles casos, que Y fuese igual a Z, en cuyo caso tendríamos que 1≤1+0 (que es cierto), o que Y fuese distinto de Z, 1≤1+1 (que también es cierto). Supongamos ahora que X=Y. Entonces hay dos posibilidades: 0≤1+1 ó 0≤0+0 (y ambas son ciertas). Queda probada por tanto la propiedad 3.D.
- Si d(X,Z) o d(Y,Z) son mayores o iguales que 1 (supongamos que es d(Y,Z)) entonces: p(X,Y)≤1=p(Y,Z)≤p(Y,Z)+p(X,Z).
- Si d(X,Z) y d(Y,Z) son menores que 1: p(X,Y)≤d(X,Y)≤d(X,Z)+d(Y,Z)≤p(X,Z)+p(Y,Z).
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