Introduciendo la topología de la recta real

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La recta de los números reales, es decir, (R, +, ·, ≤) es un cuerpo totalmente ordenado. Además, todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene supremo (la menor de las cotas superiores).

Recordaré ahora algo fundamental: el valor absoluto de un número real positivo x coincide con x. Si es negativo, es igual a -x. Algunas de sus propiedades son:

1. |x| = 0 si y sólo si x 0.
2. |x+y| ≤ |x|+ y| (Desigualdad triangular)
   
3. |x·y| = |x|·|y|

x e y siempre números reales.

Podemos ya definir la aplicación métrica o distancia: d(x,y) = |x-y|. Esta aplicación cumple las siguiente propiedades:

1. d(x,y) = 0 si, y sólo si x=y.
2. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).
3. d(x,y) = d(y,x)

Las propiedades 1 y 3 están claritas. La propiedad 2 viene directamente de la desigualdad triangular aplicando la definición de métrica:

d(x,z) + d(z,y) = |x-z|+|z-y| ≥ |x-z + z-y| = |x-y| = d(x,y)


Al considerar la recta real junto con esta aplicación métrica, (R,d), tenemos un espacio métrico completo, esto es, toda sucesión de Cauchy es convergente -en una sucesión de Cauchy existe un término a partir del cual los siguientes términos están "muy próximos" entre sí. En una sucesión convergente existe un término a partir del cual los términos siguientes están muy próximos a un punto, el límite-.


Toca ahora definir el concepto de entorno en R. Sea x un número real, un entorno de x es un conjunto V contenido en R tal que: existe ε >0 con B(x,ε):=(x-ε ,x+ε) contenido en V. Para que se vea más claro podemos decir que un entorno de x es un intervalo de la recta real tal que podemos tomar un intervalito más pequeño de centro x y radio ε de modo que todos los puntos de dicho intervalo van a estar dentro de dicho conjunto.

---(-----(---x---)------------)-- El conjunto (a,b) es entorno de x.

------(--[a---)------------)----- (a es el límite izquierdo del intervalo) El conjunto [a,b) no es entorno de a, pues por pequeño que sea el ε, será mayor que cero, luego el intervalito se saldrá siempre del conjunto [a,b), y esto quiere decir que hay puntos del intervalito que no estarán contenidos en el conjunto.

Decimos que un conjunto es abierto si es entorno de todos sus puntos. En el primer caso es así, en el segundo no, porque a es justo el límite del conjunto, luego para cualquier ε que cojamos se nos quedará parte del intervalito fuera del conjunto.

Todo por hoy.