Topología en espacios métricos.

Hoy vamos a repasar conceptos y resultados ya conocidos de Análisis.

Sea (E,d) un e.m. se define la bola abierta de centro a∈E y radio r>0 como B(a,r)={x∈E, d(x,a)i}.iiLa bola cerrada se definiría así: B(a,r)={x∈E, d(x,a)≤r}.

Un conjunto A⊂E es abierto si para cada x de A existe r>0 tal que B(x,r)⊂A. Gracias a la desigualdad triangular podemos decir que cualquier bola abierta es un conjunto abierto. Esta demostración se ve clara gráficamente. Dibujamos una bola de centro a y radio r, y dentro de nuestra bola abierta hacemos una bola de menor tamaño (o igual tamaño) con centro en un punto x cualquiera y con radio ε. Lo que vamos a probar es que esta última bola está siempre contenida en la primera (o es igual que esta) para todo x∈B(a,r).

• Sea z∈B(x,ε), es decir, d(x,z)<ε. Consideramos ε=(r-d(x,a))/2 (De esta forma evitamos que la bolita se salga de B(a,r)). Tenemos entonces d(z,a)≤d(z,x)+d(x,a)<(r-d(x,a))/2 +d(x,a)= r/2 +d(x,a)/2 = r/2+r/2=r.

Un conjunto A⊂E es cerrado si E\A (su complementario) es abierto. Definimos el conjunto vacío como un conjunto abierto (y así nos ahorramos complicaciones).

Un conjunto V es entorno de a∈E si existe r>0 tal que B(a,r)⊂V. Teniendo en cuenta esto y la definición anterior de conjunto abierto llegamos a que un conjunto es abierto si y solo si es entorno de todos sus puntos.

El entorno reducido de un punto a es un conjunto de la forma V\a (todos los puntos de V menos el punto a) donde V es entorno de a. ¿Y esto para qué? Pues bien, este concepto se utiliza a la hora de estudiar límites, donde lo que importa son los alrededores del punto y no el punto en sí.

La topología de un espacio métrico (E,d) viene dada por la familia de todos los conjuntos abiertos y una base para dicha topología estará formada por la familia de bolas abiertas {B(x,r); x∈E; r>0}.

Si (E,||·||) es un espacio normado, la topología de E es la de la métrica asociada a esa norma. La topología de E quedará denotada por ζ||·||.

Toca una definición: Sea M un subconjunto de un e.m. (E,d), se dice que x∈E:

1. es interior a M, x∈M^o, si existe r>0 tal que B(x,r)⊂M.
2. es adherente a M, x∈M| , si para cada r>0, B(x,r)∩M≠∅.

Al conjunto M| se le llama cierre o clausura de M, a M^o, interior de M.

Vamos ahora a por una proposición: Sea (E,d) un espacio métrico. Un subconjunto G de E es abierto si y solo si G=G^o, y un subconjunto F es cerrado si y solo si F=F|.
Además, el interior de un conjunto M es el mayor conjunto abierto contenido en M, y su clausura es el menor conjunto cerrado que contiene a M.

Veamos cómo marcha la cosa con un ejemplo. Consideremos el subconjunto B=[0,1]. B^o=(0,1). No están incluidos el 0 y el 1, puesto que si hacemos una bola (en este caso se trataría de un intervalo) con centro en 0 o en 1, no estará toda ella en B. Por otro lado, B|=B.

Pasamos a demostrar las dos últimas líneas de la proposición:

• Supongo G subconjunto abierto. Es claro que G^o⊂G, pues los puntos de G^o, por definición, son puntos de G. Probemos el recíproco.
• Considero x∈G. Como G es abierto puedo hacer una bola de centro x y radio ε contenida en G, pero todo lo que hay dentro de G son puntos interiores, luego G⊂G^o. Hemos llegado a que G=G^o.
• Supongo F subconjunto cerrado. Es claro que F⊂F|, pues evidentemente la intersección de puntos que están en F con F no es el vacío. Luego, como mínimo, la adherencia es el propio subconjunto. Probemos que F|⊂F.
• Sea x∈F| y x∉F. Como F es cerrado, E\F es abierto y podemos construir una bola B(x,r)⊂E\F (complementario de F). Pero resulta que x∈F|, y esto quiere decir que B(x,r)∩F≠∅. Estaríamos diciendo que F y su complementario tienen puntos en común, por lo que llegamos a una contradicción. Esto es, F|⊂F, y, por tanto podemos decir que F=F|.

Y esta fue la lección de hoy.