Topología de la recta R (2)

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Hoy vamos a ir a por el primer teorema en condiciones:

Sea K⊂R. Son equivalentes:

1. K es cerrado y acotado.
2. Cada sucesión en K tiene una subsucesión convergente hacia un punto de K. (K es sucesionalmente compacto).
3. Cada cubrimiento abierto de K tiene un subrecubrimiento finito (K es compacto).

Demostración:

Primero probaremos que 1 implica 2.

• Consideramos Xn⊂K una sucesión. Como K es un conjunto acotado (por hipótesis), la sucesión contenida en él es también acotada y podemos hacer uso del Teorema de Bolzano-Weierstrass, que nos dice que en esas condiciones existe una subsucesión (Xnk) de (Xn) que converge hacia un cierto x∈R.
  
• Queda demostrar que dicho x está en K. Supongamos que x∉K, es decir, x∈K^c que es abierto (por ser K cerrado). Por ser abierto tiene que existir ε>0 tal que (x-ε, x+ε)⊂K^c. Dado dicho ε, existirá k0∈N tal que si k>k0 d(Xnk,x)≤ε (Es decir, a partir del término k0 todos los términos de la subsucesión estarán en B(x,ε) ). Esto contradice el hecho de que la subsucesión está en K, que es algo que ya hemos demostrado, luego el punto al que converge Xnk está en K.

A continuación vamos a probar que 2 implica 1.

• Probamos en primer lugar que K está acotado. Si no lo fuese, para cualquier n existiría Xn∈K con |Xn|>n. Por hipótesis podemos encontrar una subsucesión Xnk convergente a un punto de K, y por ser convergente es acotada, por lo que entramos en una contradicción. K es por tanto acotado.
• Veamos que K es cerrado. Si no lo fuese, K^c sería cerrado por lo que existiría algún x∈K^c tal que B(x,ε) no está contenido en K^c para cualquier ε>0. Es decir, que hay puntos en el intervalo (x-ε, x+ε) que están en K. Si tomamos ε=1/n, para cada n existirá yn∈K con d(yn,x)<1/n, o lo que es igual, yn⊂(x-1/n,x+1/n). De la sucesión de puntos (yn) podemos encontrar una subsucesión (ynk) convergente a un punto y de K (hipótesis). Pero resulta que la sucesión (yn) converge a x, pues cuanto mayor es n, menor es la distancia entre los términos de la sucesión y x. Como (ynk) es subsucesión de yn, también converge a x. Como el límite de una sucesión (en este caso subsucesión) es único llegamos a que x=y. Luego x está en K, que es una contradicción. Concluimos que K entonces tiene que ser cerrado.

Demostración de que 3 implica 1.

• Primero vemos que K es acotado. Sea x0∈K. Es claro que la familia {B(x0,n):n∈N} cubre a K (en realidad cubre toda la recta de números reales). Por hipótesis existen n1,n2...nk∈N, cubrimiento finito de K, es decir, K⊂∪B(x0,ni) con i=1,...k. Sea n0 el máximo n, K estará contenido en el intervalo (x0-n0, x0+n0), luego estará acotado.
  
• Veamos que K es cerrado (que equivale a demostrar que K^c es abierto. Sea x∈K^c. Para cada y∈K consideramos ρy>0 y ry>0 tales que B(x,ρy)∩B(y,ry)=∅ (Para asegurarme de que cubro K sin llegar a coger a x hago ry=|x-y|/3). Es claro que K está contenido en la unión de los intervalos (y-ry, y+ry). Existirá por tanto un número finito de estos intervalos en el que K estará contenido (por hipótesis). Sea ρ el mínimo de los ρyi, entonces B(x,ρ)⊂K^c. Y esto se cumple para todo x∈K^c. K^c es entorno de todos sus puntos (tomando ε=ρ) lo que significa que K^c es abierto. Veámoslo: Si z∈B(x,ρ)∩K entonces z∈B(yi,ryi) para algún i y z∈B(x,ρyi)⊂B(x,ρ). Pero esto es una contradicción pues partimos de que B(x,ρy)∩B(y,ry)=∅. Por lo tanto K^c es abierto (ergo K es cerrado).

Falta una última demostración: 1 implica 3.

• Como K es acotado, ∃ M>0 tal que K⊂[-M,M], que es compacto (es un caso particular del [a,b], que ya está demostrado). Sea (Gi) un cubrimiento de K, podremos cubrir [-M,M] con la unión de los (Gi) y K^c, y por ser K cerrado, esta unión es un cubrimiento abierto de [-M,M]. Por ser [-M,M] compacto podemos encontrarle un cubrimiento finito: [-M,M]⊂ ∪Gi∪K^c (If⊂I, i⊂If). Y con esto llegamos a que Gi, que es finito, cubre K, que es justamente lo que se quería probar.

#Creo que está claro que no es necesario demostrar la doble implicación entre 2 y 3. 2⇒3 equivale a 2⇒1 ⇒3. 3⇒2 equivale a 3⇒ 1⇒ 2.


Hoy fue una lección más dura.