Ecuaciones integrales

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Mencionaré un ejemplo de ecuación integral simplemente para que se sepa que "existen", pues las que vamos a estudiar con profundidad más adelante serán las ecuaciones diferenciales.

Un tipo de ecuación integral es la de Volterra de 2ª especie, que tiene la siguiente forma:

φ(x) = f(x) + λ·∫a^x [φ(t)·K(x,t)] dt

Un ejemplo podría ser el siguiente:

φ(x) = 1/(1+x²) - ∫₀^x [φ(t)·t / (1+x²)] dt

A continuación realizaremos el ejercicio de comprobar que la función φ(x)=1/(1+x²)^3/2 es solución de la ecuación dada. Esto servirá para repasar el asunto de la resolución de integrales.

En primer lugar multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por 1+x². De esta forma el 1/(1+x²) dejará de estar dentro de la integral, pero podemos hacerlo ya que la integración es con respecto a t, lo que significa que el 1/(1+x²) que está dentro de la integral actúa como una constante.

Nos queda entonces algo más "bonito" a la vista:

φ(x)·(1+x²) = 1 - ∫₀^x [φ(t)·t] dt

Sustituimos φ(t) por su valor:

φ(x)·(1+x²) = 1 - ∫₀^x [1/(1+t²)^3/2 ·t] dt

φ(x)·(1+x²) = 1 - ∫₀^x t/(1+t²)^3/2 dt

Multiplicamos y dividimos por 2 la integral, de modo que en el numerador nos queda la derivada de lo que está dentro del paréntesis en el denominador.

φ(x)·(1+x²) = 1 - (1/2)·∫₀^x 2t/(1+t²)^3/2 dt

Esto nos va a facilitar mucho las cosas, porque para resolver la integral basta con hacer el cambio de variable z=1+t².

z=1+t²
dz=(1+t²)' dt =2t dt

Puesto que se trata de una integral definida no debemos olvidar calcular los nuevos límites de integración:

t=x; a=1+x²
t=0; b=1+0²=1

La ecuación se nos queda de esta forma :

φ(x)·(1+x²) = 1 - (1/2)·∫₀^x 1/z^3/2 dz

Multiplico por 2 (para quitarme el 1/2) e integro, que es muy sencillo, puesto que es la integral del polinomio z^-3/2.

2·φ(x)·(1+x²) = 2 - [z^-1/2/(-1/2)] ₁^1+x²

2·φ(x)·(1+x²) = 2 - [(1+x²)^-1/2/(-1/2) - 1^-1/2/(-1/2)]

2·φ(x)·(1+x²) = 2 - [-2·(1+x²)^-1/2 + 2]

2·φ(x)·(1+x²) = 2 + 2·(1+x²)^-1/2 - 2

2·φ(x)·(1+x²) = 2·(1+x²)^-1/2

φ(x)·(1+x²) = (1+x²)^-1/2

φ(x) = (1+x²)^-3/2

Y esto es todo.
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