Espacios normados. Producto interior.

Un espacio normado (E, ||.||) es un espacio vectorial E y una función ||.||: E-->R, llamada norma (que cumple las propiedades 1.N,2.N y 3.N que vimos ayer). El ejemplo más sencillo de norma lo proporciona el valor absoluto en R.

Ejemplos de espacios normados:

1. Para x∈Rn definimos ||x||1=∑|xi| desde i=1 hasta n.
2. Para x∈Rn definimos ||x||∞=máx{|xi|; i=1,...n}.
3. Sea E={f:[0,1]-->R; f está acotada}. Se comprueba que E es un e.v. con las operaciones usuales de funciones y se define para f∈R, ||f||∞=sup{|f(x)|; x∈[0,1]}.

A las normas de la forma ||·||∞ se las denomina normas del supremo.

Es bastante claro que la norma definida en el punto 3 cumple las propiedades 1.N y 2.N. Veamos si cumple la 3.N (desigualdad triangular).

|(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤||f(x)||∞+||g(x)||∞

||(f+g)(x)||∞≤||f(x)||∞+||g(x)||∞

||(f+g)(x)||∞ no puede ser mayor que ||f(x)||∞+||g(x)||∞ puesto que es la menor de las cotas de |(f+g)(x)|.

En un espacio normado podemos siempre definir una métrica. Si tenemos un espacio (E,||·||), dados u,v∈E definimos d(u,v)=||u-v||. La demostración a partir de la desigualdad de Cauchy-Schuarz de que 3.N implica 3.D nos asegura que d así definida es una métrica en E que se denomina métrica asociada a la norma del espacio.

Veamos que el recíproco no se cumple, es decir, que no todas las métricas en un e.v. provienen de una norma. Pongamos como ejemplo la métrica discreta (explicada ayer):

• Supongamos (E,||·||) e.v. normado tal que d(u,v)=||u-v|| es la métrica discreta. Si u=v, d(u,v)=0=||u-v||. Si u es distinto de v, entonces d(u,v)=1=||u-v||. En este último caso, consideremos los vectores 2u y 2v (que siguen siendo distintos). Tenemos entonces d(2u,2v)=1 y ||2u-2v||=2||u-v||=2·1=2. Pero d(2u,2v)=||2u-2v||, con lo que llegamos a un absurdo.

Comentamos también ayer la noción de producto interior. Dado un e.v. E, diremos que una aplicación <·,·>:ExE-->R es un p.i. de E si verifica las propiedades 1.P, 2.P y 3.P.

Un ejemplo de espacio con la aplicación producto interior es el siguiente: En el e.v. de las funciones continuas en el intervalo [0,1] definimos el producto interior =∫₀¹f(x)g(x)dx. Probaremos que, efectivamente, se trata de un p.i:

• 2.P es inmediata y 3.P resulta de la linealidad en las integrales. Demostremos 1.P, esto es, que i<if,if>e≥0 y queif<if,if>e=0 si y solo si f=0.
  
• Lo primero se prueba así: =∫₀¹f ²(x)dx≥∫₀¹0dx=0.
• Si f=0 es claro que i<if,if>e=0. Vamos a demostrar el recíproco.
• Partimos de que i<if,if>e=0. Supongamos que existe x0∈[0,1] tal que f(x0) es distinto de 0. Tomamos ε=|f(x0)|/2>0. Por ser f continua sabemos que existe δ>0 tal que si x∈[x0-δ,x0+δ] entonces |f(x)-f(x0)|≤ ε (no es un menor estricto debido a que el intervalo [x0-δ,x0+δ]es cerrado). ||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|≤ ε, es decir, -ε≤|f(x)|-|f(x0)|≤ ε y de aquí deducimos que |f(x)|>ε. Por la monotonía de la integral, al ser f²(x)≥0, para todo x∈[0,1] tenemos: 0=∫₀¹f ²(x)dx≥∫f ²(x)dx [entre x0-δ y x0+δ]≥2δε² >0, y esto es una contradicción.

Mañana más.