sábado, 7 de noviembre de 2009

Aplicaciones Lipschitzianas. Conexión, continuidad y convergencia de aplicaciones.

Las funciones lipschitzianas son un ejemplo de funciones uniformemente continuas.

Definición: Decimos que f:M⊂(E,d)-->(F, ρ) es lipschitziana con constante de lipschitz c>0 si para cada par de puntos x, y de M se cumple ρ(f(x),f(y))≤c·d(x,y).
Toda aplicación lipschitziana es uniformemente continua (dado ε>0, basta con tomar δ=ε/c).

Ejemplos.
  1. Si f:(a,b)-->R es derivable con derivada acotada, es decir, existe M>0 tal que |f '(x)|≤M para x,y∈(a,b) tenemos |f(x)-f(y)|=|f '(e)|·|x-y|≤M|x-y|.
  2. Las aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados; si T⊂K(E,F), T es lipschitziana con constante de lipschitz precisamente ||T||.
Una aplicación f:(E,d)-->(E,d) se dice que es contractiva si es lipschitziana con constante de lipschitz 0<1. style="font-weight: bold;">Teorema del punto fijo de Banach: Supongamos que (E,d) es un e.m. completo y que f:E-->E es contractiva. Entonces f tiene un único punto fijo, es decir, existe x∈E tal que f(x)=x.

(No pongo la demostración porque es bastante farragosa de escribir a ordenador).

Conexión y continuidad:

Teorema: Sean (E,d) y (F, ρ) e.m., M⊂E un conjunto conexo y f:M--->F una aplicación continua. Entonces f(M) es un subconjunto conexo de F.

Corolario: R2 no puede ser homeomorfo a R (recordemos que tendríamos un homeomorfismo si f:R2-->R fuese biyectiva y tanto f como su inversa fuesen continuas).

Prueba:
Si existiera un homeomorfismo f:R2-->R, la imagen del conjunto R2\{0}, que es conexo, tendría que ser conexa. Pero f(R2\{0})=R\{f(0)} no es conexo.

Otro corolario: Si f:
M⊂(E,d)-->R es continua y M es conexo, entonces f(M) tiene la propiedad de los valores intermedios, esto es, si a,b∈M y e es un número real entre f(a) y f(b), entonces existe c∈M tal que f(c)=e.

Convergencia de aplicaciones.

Sea T un conjunto no vacío y (F, ρ) un espacio métrico. Una sucesión de funciones fn:T-->F converge puntualmente cuando para cada t perteneciente a T la sucesión (fn(t)) converge en (F,ρ). En este caso el límite puntual de la sucesión es la aplicación f:T-->F definida por f(t):=lim fn(t) cuando n tiende a infinito.
La definición de convergencia puntual equivale a la condición: Para cada t perteneciente a T y cada ε>0 existe un número natural n(ε,t) tal que si n>n(ε,t) entonces ρ(fn(t),f(t))<ε.

Definimos una convergencia más fuerte:
Sea T un conjunto no vacío y (F, ρ) un espacio métrico. Una sucesión de funciones fn:T-->F converge uniformemente hacia f:T-->F si para todo ε>0 existe n(ε) tal que si n>n(ε) entonces ρ(fn(t),f(t))<ε para todo t perteneciente a T.

Teorema:
Sean (E,d) y (F, ρ) e.m., y sea fn:T-->F una sucesión de funciones continuas convergente uniformemente a f:[a,b]--->R. Entonces f es integrable y tenemos que el límite de la integral de fn(x) entre a y b es igual que la integral entre a y b de f(x).

(No pongo la demostración por lo mismo de antes).

Y ya.

3 comentarios:

Noxbru dijo...

Buf... creo que estas cosas ya no las he visto, o al menos no con ese nombre, porque en cuanto he leído eso de "funciones lipschitzianas", he pensado "¿Eso se come?"

Por cierto, ¿Cómo haces para escribir todo el lenguaje matemático en tus posts? ¿Vale el lenguaje TeX?

María dijo...

xDD, muy comestible no es.

Ojalá supiera ese lenguaje. Lo único que hago es copiar los símbolos matemáticos de otros sitios y pegarlos aquí.

Salud.

Noxbru dijo...

Vale, lo tendré en cuenta.

De Tex, la verdad es que no sé mucho, pero al parecer sí que se puede escribir en tex en blogger: http://www.botcyb.org/2008/10/rendering-latex-in-blogger.html

Y luego, para trabajar en el ordenador ya no te puedo ayudar, porque supongo que utilizarás windows y no conozco ningún programa para escribir en tex... De todos modos, sé que con vim se puede escribir en tex (que bueno, se puede también con el bloc) pero luego ya no sé pasar a pdf, que es lo bonito.

Suerte de todos modos ;)