Compacidad en espacios métricos (3) y conexión

Informo de que esta es la penúltima entrada del capítulo.

Ya vimos que en un e.m. los conjuntos compactos son cerrados y acotados, pero el recíproco no es cierto en general. El teorema siguiente establece que en Rn con la norma euclídea el recíproco sí que se cumple.

Teorema de Heine-Borel-Lebesgue: Un subconjunto K de Rn es compacto para la topología usual si y sólo si es cerrado y acotado.

Prueba:

• Sólo queda realizar la segunda aplicación, así que allá vamos.
• Si K es acotado, existe r>0 tal que K⊂B(0,r)⊂B(0,r)∞=[-R.R]x...x[-R,R]. Probaremos que [-R,R]ⁿ es compacto, y como K es cerrado y ⊂[-R,R]ⁿ será por tanto, compacto. Haremos la prueba para n=2 y usaremos que un conjunto es compacto si y solo si es sucesionalmente compacto. (a¹ y a² denotan cada una de las coordenadas de la sucesión).
  

• Sea (Xm)∞=(Xm¹,Xm²)∞∈[-R,R]x[-R,R]. Como (Xm¹)∞⊂[-R,R]x[-R,R], es compacto. Existe entonces (Xmj¹)∞ subsucesión de (Xm¹)∞ convergente hacia un punto x¹∈[-R,R].

• La sucesión (Xmj²)∞⊂[-R,R]. Existe una subsucesión (Xmjk²)∞ convergente a un punto x²∈[-R,R].

• Como (Xmj¹)∞ converge hacia x¹, puedo coger los términos que yo quiera de esta susubsucesión y construirme otra subsucesión que también va a converger a x¹. Para que en [-R,R]x[-R,R] una sucesión converja, tienen que converger cada una de las coordenadas por separado pero con los mismo índices. Es por eso que voy a elegir unos términos determinados de (Xmj¹)∞. Me voy a quedar con la subsucesión (Xmjk¹)∞ (que converge a x¹).

• Entonces tenemos que la subsucesión (Xmjk)∞=(Xmjk¹,Xmjk²) converge a (x¹,x²) y es subsucesión de (Xm)∞.
  

• [-R,R] es sucesionalmente compacto (cada sucesión de [-R,R] tiene una subsucesión convergente a un punto de [-R,R]), y por tanto, es compacto.
  

Pasamos a la conexión:

Un conjunto M de un e.m. E se dice que es conexo cuando para toda partición no trivial de él: M=S∪T, S∩T=∅, S≠∅, T≠∅, se tiene S∩T|≠∅ o S|∩T≠∅. Es decir, el conjunto es conexo si no está "roto", como explicaré en la nota.

En particular, si M=E obtenemos la noción de e.m. conexo.

Hay que tener en cuenta que en esta definición no interviene la métrica del espacio sino su topología.

Nota: Otra forma de ver la conexión es que un conjunto conexo M⊂E no se puede escribir como la unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos. Si fueran S,T abiertos en E con M=S∪T, S∩T=∅, S≠∅, T≠∅, por ser M conexo podemos suponer que S∩T|≠∅. Sea x∈S∩T|. Como S es abierto, existe ε>0 tal que B(x,ε)⊂S y como además x∈T|, B(x,ε)∩T≠∅ lo cual implica que S∩T≠∅, y esto es una contradicción.

El primer ejemplo de conjuntos conexos lo encontramos en R: Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.
Recordemos que un intervalo queda definido de la siguiente forma: (a,b)={x∈R: a<sxd<ibi}.

Los espacios Rn son conexos. En e.m. arbitrarios se demuestra que la unión arbitraria de conjuntos conexos tales que cada dos de ellos tienen intersección no vacía, es un conjunto conexo. Además, la clausura de un conjunto conexo vuelve a ser un conjunto conexo.

Mañana o después veremos una caracterización importante de los e.m. conexos.

Compacidad en espacios métricos (2).

Teorema de Bolzano Weierstrass: Sea (E,d) un e.m. y K⊂E un subconjunto, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. K es compacto.
2. K es sucesionalmente compacto.

Demostración:

• 1 implica 2. Sea Xn⊂K, supongamos que no tiene ninguna subsucesión convergente. En particular, esto implica que la sucesión tiene infinitos puntos distintos yk, que podemos tomar como subsucesión de Xn.

• Además, para todo k∈N existe un entorno abierto Uk que contiene a yk tal que yj∉Uk si j≠k. Probemos esto: Si no fuera así habría de existir un k tal que cualquier entorno abierto de yk contiene a un yj. Tenemos, en particular, que para cualquier m∈N existe un jm∈N con yjm∈B(yk,1/m). Podemos extraer una subsucesión (yjm)∞ de (yn)∞ cumpliendo que d(yk,yjm)<1/m,styipara cualquier imi∈N, lo que implica que la sucesión yjm converge a yk, contrario a la hipótesis por ser yjm subsucesión de Xn.

• El conjunto {y1, y2...yn...} no tiene ningún punto de acumulación (ya que podemos hacer bolitas de centro y1, y2... que sólo contienen a y1, y2... Recordemos que M|=M∪M'. Como no hay ningún punto de acumulación, M|=M, y esto implica que M es cerrado. Luego {y1, y2...yn...} es cerrado. Además, como está en K, que es compacto, {y1, y2...yn...} también es compacto. La familia {Uk}∞ es un recubrimiento abierto de {y1, y2...yn...} que no admite un cubrimiento finito debido a que {y1, y2...yn...} es infinito y a que demostramos que para todo k∈N existe un entorno abierto Uk que contiene a yk tal que yj∉Uk si j≠k. Esto es una contradicción, pues {y1, y2...yn...} es compacto. Por tanto Xn tiene una subsucesión convergente y como K es cerrado, el límite está en K.

• 2 implica 1. Sea {Ui} un cubrimiento abierto de K. Existe r>0 tal que para todo y∈K, B(y,r)⊂Ui para algún I. Si no fuese así para todo n existiría yn∈K de manera que B(yn,1/n) no está contenida en ningún Ui. Pero por hipótesis la sucesión yn ha de tener una subsucesión (zn) convergente a z∈K. Como {Ui} recubre a K, z∈Ui0 para algún i0. Como Ui0 es abierto existe ε>0 tal que B(z,ε)⊂Ui0. Podemos tomar N lo suficientemente grande para que d(zN,z)<ε/2 y 1/N<ε/2. Entonces B(zN,1/N)⊂Ui0. Contradicción.

• Para cualquier ε>0 existe {y1, y2...yn}⊂K tal que K⊂∪B(yk,ε). Supongamos que existe ε tal que K no se pueda cubrir con un número finito de bolas abiertas de radio ε. Elegimos y1∈K arbitrario y tomamos y2∈K\B(y1,ε)≠∅. Por hipótesis podemos repetir el proceso y así elegir yn∈K\[B(y1,ε)∪...∪B(yn-1,ε)]. La sucesión así formada cumple que d(yj,yk)≥ε para j≠k y por tanto no admite subsucesiones convergentes, lo cual contradice el hecho de que K es sucesionalmente compacto.

• Para terminar, sea r>0 y sean {y1...yn} para ε=r. Así K⊂∪k B(yk,ε) (desde k=1 hasta k=n) y como B(yk,ε)⊂Uik para algún ik tenemos que K⊂Ui1∪...Uin, que es el cubrimiento finito que buscamos.

Ála, ya llevo análisis al día.

Compacidad en espacios métricos.

Hoy, si voy a buen ritmo, termino con análisis. Y ya vuelvo a con él el martes.

Vamos a comenzar fuerte con una de las formulaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass: Sea K⊂(E,d) un conjunto compacto. Entonces

1. K es cerrado.
2. K es acotado.
3. Si F⊂K es cerrado, F es compacto.

Pruebas varias:

• 1. Consideramos G=E\K. Probaremos que G es abierto. Sea x∈G y los conjuntos abiertos Un={y∈E : d(x,y)>1/n para todo n}=B^c(x,1/n). Es decir, en Un están todos los puntos y que están fuera de la bola B(x,1/n). Vemos que a mayor n, esta bola es más pequeña, luego Un es cada vez más grande.

• Como todos los y∈K son distintos de x, tenemos que d(x,y)>0, habrá por tanto algún n tal que y∈Un. Así, K⊂∪Un (desde n=1 hasta infinito). Como K es compacto se puede extraer un cubrimiento finito, así que K⊂Un1∪Un2∪...Unk.
• Sea ahora N el máximo de los n1, n2...nk. U=B^c(x,1/N) es el mayor de los Un, luego es claro que K⊂U. Pero entonces, como G es el complementario de K, y B(x,1/N) el complementario de U, tenemos que B(x,1/N)⊂G. Esto quiere decir que para todo x puedo encontrar una bola con centro x que esté contenida en G, esto es, G es abierto (K es cerrado).
  

• 2. Sea x0∈K, la familia {B(x0,n) con n∈N} es un cubrimiento abierto de K. Como K es compacto ha de tener un cubrimiento finito, K⊂∪B(x0,nj) (desde k=1 hasta j=k). Sea M el máximo de los n1,n2...nn, entonces K⊂B(x0,M), luego diam(K)≤2M, esto es, K está acotado.

• 3. Sea {Ui} un cubrimiento abierto de F. Consideramos G=E\F, que es abierto (por ser F cerrado). Entonces [{Ui,G} cubre a K. Por ser K compacto podemos extraer un cubrimiento finito de K, que será de la forma {Ui1,Ui2...Uin,G}. Luego{Ui1,Ui2...Uin} cubre a F. F es compacto.

Definición: Un subconjunto A⊂(E,d) de un e.m. decimos que es sucesionalmente compacto si de toda sucesión de A podemos extraer una subsucesión convergente a un punto de A.

Proposición: Sea K⊂(E,d) un conjunto sucesionalmente compacto. Entonces:

1. K es cerrado.
2. K es acotado.
3. Si F⊂K es cerrado, F es compacto.

Además, K es sucesionalmente compacto si y solo si todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulación en K (es decir, un punto x tal que B(x,r)∩K=infinito). (me falta escribir esta demostración).

Otras tantas pruebiñas:

• 1. Veamos que K es cerrado. Si no lo fuese, K^c sería cerrado por lo que existiría algún x∈K^c tal que B(x,ε) no está contenido en K^c para cualquier ε>0. Es decir, que hay puntos en el intervalo (x-ε, x+ε) que están en K. Si tomamos ε=1/n, para cada n existirá yn∈K con d(yn,x)<1/n, o lo que es igual, yn⊂(x-1/n,x+1/n). De la sucesión de puntos (yn) podemos encontrar una subsucesión (ynk) convergente a un punto y de K (hipótesis). Pero resulta que la sucesión (yn) converge a x, pues cuanto mayor es n, menor es la distancia entre los términos de la sucesión y x. Como (ynk) es subsucesión de yn, también converge a x. Como el límite de una sucesión (en este caso subsucesión) es único llegamos a que x=y. Luego x está en K, que es una contradicción. Concluimos que K entonces tiene que ser cerrado.

• 2. Si no fuese acotado, para cualquier n existiría Xn∈K con |Xn|>n. Por hipótesis podemos encontrar una subsucesión Xnk convergente a un punto de K, y por ser convergente, es acotada, por lo que entramos en una contradicción. K es por tanto acotado.

• 3. Probaremos que F está acotado. Si no lo fuese, para cualquier n existiría Xn∈F con |Xn|>n. Consideramos Xn⊂F. Como Xn también está contenida en K, sabemos que existe una subsucesión Xnk⊂K que converge a x∈K. Pero como (Xnk)⊂(Xn), Xnk⊂F, y como F es cerrado, Xnk converge a un punto de F (que coincide con x, pues el límite es único). Contradicción, porque si es convergente, es acotada. Luego F es acotado, y por ser también cerrado, es compacto.

Mañana (o en un rato) añado lo último que me falta, otro teorema de los señores Bolzano y Weierstrass, que es bastante largo y su correspondiente demostración.

Completitud en espacios métricos.

Ayer prometía una bonita proposición, así que aquí la traigo:

Todo subconjunto completo M⊆(E,d) es cerrado, y si (E,d) es completo, todo subconjunto cerrado de E es completo.

A por la demostración:

• Sea M⊆(E,d) completo. Sea Xn⊆M una sucesión convergente a x∈E. Tenemos que probar x está en M (recordemos que un conjunto es cerrado si y solo si el límite de toda sucesión convergente del conjunto está en dicho conjunto). Como Xn es convergente en E, es por tanto, de Cauchy (tanto en E como en M, pues la distancia entre los términos no varía de E a M). Por ser M completo, Xn tiene que converger a y∈M. Como el límite es único--->x=y∈M. M es cerrado.

• Probaremos la segunda parte de la proposición: Suponemos E completo y M⊆(E,d) cerrado. Sea Xn⊆M una sucesión de Cauchy en M. Si la "miramos" en E también será de Cauchy, luego está claro que por ser E completo, Xn convergerá a x∈E. Ahora bien, M es cerrado, así que el límite de Xn tiene que quedarse en M, por tanto M es completo (toda sucesión de Cauchy es convergente).

Las nociones de sucesión de Cauchy y espacio métrico completo no son topológicas. ¿Qué quiere decir esto? Que puede haber dos distancias equivalentes sobre el mismo conjunto E que no den lugar a las mismas sucesiones de Cauchy, de forma que E sea completo para una distancia y no lo sea para la otra. En espacios normados esto no ocurre (gracias a la proposición importantilla de ayer. Recordemos que el hecho de que dos distancias sean equivalentes no implica que se cumpla la desigualdad a||x||≤||x||'≤b||x||).

Teorema: Si ||·|| es una de las tres normas usuales de Rn (que estuvimos manejando ayer), entonces (Rn,||·||) es completo.

Prueba:

• Vamos a probar, por ejemplo, que (Rn, ||·||∞) es completo.
• Sea xk sucesión de Cauchy en (Rn, ||·||∞). Dado ε>0 existe k0∈N tal que si k,m>k0 ||xk-xm||≤ε. Tomamos ahora xk=(xk¹,xk²...) con i=1,2...n. Tenemos entonces lo siguiente: |xkⁱ-xmⁱ|≤||xk-xm||∞≤ε (esto se debe a que ||xk-xm||∞=máx{|xkⁱ-xmⁱ|, i=1...n.}) para todo k,m>k0.
• Esto significa que la sucesión xnⁱ es de Cauchy. Como R es completo, las sucesiones de las coordenadas son convergentes, esto es, para cada i existe xⁱ=lim(xkⁱ) y por tanto xk converge hacia (x¹,x²...) con i=1,2...n.

Definición: El diámetro de un subconjunto A de un e.m. (E,d), por defición es el supremo.
diam(A)=sup{d(x,y);x,y∈A}≤+∞.
Un subconjunto M de E se dice que es acotado si diam(A)<∞.

#Si A es acotado, dado x0∈A existe r>0 : A⊆B(x0,r).

Prueba:

• diam(A)=K<∞. x0∈A, r=K. A⊆B(x0,r).
• A⊆B(x0,r). diam(B(x0,r))≤2r. Sean x,y∈A; d(x,y)≤d(x0,x)+d(y,x0)≤r+r=2r. Luego A está acotado.

No es cierto en general que dos métricas equivalentes definan los mismos conjuntos acotadas, pero esto sí ocurre en un espacio normado (debido a la proposición bendita que antes ya hemos mencionado).

Teorema de Cantor: Sea (E,d) un e.m. completo. Toda sucesión decreciente de conjuntos cerrados no vacíos, Cn⊆E que cumpla lim(diam(Cn))=0 tiene intersección no vacía.

Demostración:

• Para cada n elegimos xn∈Cn. Probemos primero que la sucesión es de Cauchy. Dado ε>0, como lim(diam(Cn))=0 existe n0 tal que diam(Cn)<ε para todo n>n0. Si n,m>n0 tenemos que xn∈Cn⊆Cn0 y xm∈Cm⊆Cn0, y llegamos a que d(xn,xm)≤diam(Cn)≤ε.
• Como (E,d) es completo, xn es convergente hacia un punto de E. Cada Cn es cerrado y xk∈Cn para todo k>n, luego x∈Cn, esto es, la intersección de los Cn es no vacía, pues está x.

Después sigo.

Topología en espacios métricos (4).

Let's go on.

x es un punto de aglomeración de la sucesión Xn si y sólo si para cada ε>0 el conjunto {n∈N: Xn∈B(x,ε)} es infinito, esto es, si en la bola hay infinitos términos.

Demostración:

• Si x es un punto de aglomeración de Xn, existe una subsucesión de Xn que converge hacia x. Dado ε>0 existe k0∈N tal que si k>k0, entonces Xnk∈B(x,ε). Luego dentro de la bola se quedan infinitos términos.
• A por el recíproco. Sea ε=1, el conjunto{n∈N: Xn∈B(x,1)}≠∅, podemos elegir por tanto n1∈N: x1∈B(x,1). Tomemos ahora ε=1/2, el conjunto {n∈N: Xn∈B(x,1/2)} es infinito, así que podemos coger un n2>n1 tal que x2∈B(x,1/2). Respitiendo este proceso voy consiguiendo una sucesión creciente de números naturales n1, n2, n3...nk... tal que una subsucesión Xnk∈B(x,1/k).

Dos métricas, d y d', definidas sobre un mismo conjunto E se dice que son equivalentes si definen la misma topología sobre E.
Dos normas, ||·|| y ||·||', sobre un mismo espacio vectorial se dice que son equivalentes cuando las distancias asociadas lo son.

Dos métricas sobre un conjunto son equivalentes si y solo si tienen las mismas sucesiones convergentes y convergen al mismo límite. Es decir, Xn d-converge a x∈E si y solo si Xn d'-converge a x.

Prueba:

• Partimos de que d y d' son métricas equivalentes (tienen por tanto los mismos conjuntos abiertos). Sea Xn d-convergente a x∈E. Sea U d'-abierto, x∈U. U es también d-abierto, así que existe un n0 a partir del cual Xn∈U. Por tanto Xn d'-converge tambiém a x.
• Suponemos F⊆E d-cerrado. Sea Xn⊆F, Xn d'-converge a x∈E, y por hipótesis Xn d-converge a x∈F (porque F es cerrado). Luego F es también d'-cerrado. d y d' son equivalentes.

La distancia asociada a la norma d(x,y)=||x-y|| es invariante por translaciones: d(x,y)=d(a+x,a+y). La distancia también se comporta bien con las homotecias respecto al origen: d(ax,by)=ab·d(x,y). Y otra propiedad que diferencia a las normas de las métricas generales es la que da el siguiente resultado:

Proposición importantilla:Sea E un e.v. sobre K y ||·||, ||·||' dos normas sobre E. Una condición necesaria y suficiente para que las dors normas seas equivalentes es que existan dos constantes a,b>0 tal que a||x||≤||x||'≤b||x|| para todo x∈E.

Probémoslo:

• Veremos primero la condición necesaria. Supongamos que las dos normas son equivalentes. Como las topologías de ambas normas tienen los mismos abiertos, la bola abierta B(0,1) respecto de ||·|| ha de ser un conjunto abierto respecto de ||·||'. En particular, como el 0 está contenido en la bola B(0,1) respecto de ||·||, existe r>0 tal que B(0,r)(||·||')⊆B(0,1)(||·||).

• Sea a∈R con a

• Veamos la condición suficiente, esto es, que si se cumple a||x||≤||x||', todo abierto para ||·|| es abierto para ||·||'.
  

• Sea r>0 y x∈B(c,a·r)(||·||'), es decir, ||x-c||'

• Consideramos C abierto para ||·|| y c∈C. Eciste r>0 tal que B(c,r)(||·||)⊆C. Pero esntonces también se cumple que B(c,a·r)(||·||')⊆C. Luego llegamos a que C es ||·||'-abierto.

En el caso de espacios métricos en general, si d y d' son métricas de E, si existen a,b>0 con a·d(x,y)≤d'(x,y)≤b·d(x,y) entonces d y d' son equivalentes. Sin embargo, el hecho de que sean equivalentes no implica que existan a y b que cumplan la desigualdad. Veamos un ejemplo de que no se cumple:

Consideramos la métrica del valor absoluto y la métrica acotada, p. La métrica del valor absoluto es equivalente a p pero no existe a>0 tal que a·d(x,y)≤p(x,y) para todo x e y.

Las normas ||·||1 y ||·||∞ aunque no proceden de un producto escalar (al contrario que ||·||2), también definen la topología usual de Rn. Basta aplicar la proposición anterior teniendo en cuenta las desigualdades:

1. ||x||∞≤||x||2≤sqrt(n)||x||∞
   
2. 1/sqrt(n) ·||x||1≤||x||2≤sqrt(n)||x||1

Pruebas:

• Recordamos que ||x||∞=max{|xi| con i=1,2...}. |xi|=sqrt(xi²)≤sqrt(x1²+...+...xi²+...xn²)=||x||2.
• ||x||2=sqrt(x1²+...+...xi²+...xn²)≤sqrt(||x||∞²+...+...||x||∞²+...||x||∞²)=sqrt(n)||x||∞.
• Para demostrar 1/sqrt(n) ·||x||1≤||x||2 utilizamos la desigualdad de Cauchy Schwarz. Sea x∈Rn, tomamos a∈Rn tal que ai·xi=|xi| (luego a=+1,-1). ||xi||1=sum|xi|=sum(ai·xi)=≤||a||2·||x||2=sqrt(n)·||x||2.
• ||x||2=sqrt(x1²+...+xn²)≤sum(xi)=||x||1.

Corolario: En (Rn, ||·||2), limXn=x si y solo si la convergencia es coordenada a coordenada.

Demostración:

• Supongasmo que (xn,yn)------>(x,y). Entonces d∞((x,y),(xn,yn))=max{|xn-x|,|yn-y|} y esto tiene que tender a 0. La única forma es que tanto |xn-x| como |yn-y| tiendan a 0.

Para acabar introduciré algunos nuevos relacionados con la completitud.

Recordaré que la noción de completitud, esto es, que toda sucesión de números reales que sea de Cauchy es convergente, equivale al Principio de encaje de Cantor y éste al axioma del supremo (todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene un supremo). Sobre (San) Cantor hablaremos más adelante.

Sea (E,d) un e.m. Una sucesión Xn en E se dice que es de Cauchy si dado ε>0 existe un número natural n0 tal que si k,n>n0 entonces d(xnk,xn)≤ε.

#En un espacio métrico toda sucesión de Cauchy es acotada y toda sucesión convergente es de Cauchy, pero el recíproco generalmente es falso.

Un e.m. se dice que es completo si y solo si toda sucesión de Cauchy en E es convergente. Cuando un espacio normado es completo se le denomina espacio de Banach.

Sea M un subconjunto del e.m. (E,d), la restricción MxM de la distancia d es una distancia en M que denotaremos dM. Si el espacio (M,dM) es completo diremos que M es un subconjunto completo de E.

Creo que hoy me puse bien las pilas. Mañana seguimos con una bonita proposición.

Topología en espacios métricos (3).

Tras este tiempo sin repasar nada de análisis, volvemos por donde lo dejamos.

Proposición(I): Un punto x es adherente a M⊂E si y solo si es límite de alguna sucesión contenida en M.

Demostrémoslo:

• Si x∈M| para todo n B(x,1/n)∩M ≠ ∅. Podemos elegir para cada n, Xn∈B(x,1/n)∩M y entonces d(x,Xn)<1/n.iPor tanto Xn converge a x.i
  
• Probemos el recíproco. Sea Xn∈M cuyo límite es x. Sea U abierto con x∈U, por definición de límite, existe n0 tal que si n>n0, Xn∈U, y esto implica que U∩M≠∅, es decir, x es un punto adherente a M.

Proposición(II): Un punto x es un punto de acumulación de M⊂E si y solo si es límite de alguna sucesión contenida en M\{x}. Quitamos el x porque si x está en la sucesión y además es el límite, la sucesión sólo puede ser una sucesión constante en la que todos los términos son el x. Pero entonces no se cumpliría el recíproco que diría que si x es límite de alguna sucesión contenida en M, x es un punto de acumulación.

• Si x∈M' para todo n B(x,1/n)∩M=∞. Podemos elegir para cada n, Xn∈B(x,1/n)∩M (lo elegimos con x∉Xn, y podemos hacer esto porque la intersección está formada por un número infinito de elementos) y entonces d(x,Xn)<1/n.iPor tanto Xn converge a x.i

• Sea Xn∈M\{x} cuyo límite es x. Sea U abierto con x∈U, por definición de límite, existe n0 tal que si n>n0, Xn∈U. Como la sucesión no puede ser constante (es decir, que todos los términos sean x) tenemos que Xn obligatoriamente está formada por infinitos números distintos, luego U∩M=∞. x es por tanto un punto de acumulación de M.

Un conjunto F⊂(E,d) es cerrado si y solo si toda sucesión Xn⊂F convergente tiene su límite en F.

Prueba:

• Suponemos que F es cerrado y sea Xn una sucesión de F convergente hacia x. Si x∉F, x∈E\F, y como este conjunto es abierto existe r>0 tal que B(x,r)⊂E\F. Como el límite es x, existe n0 tal que si n>n0 Xn∈B(x,r), y esto nos lleva a que Xn∉F. ¡Absurdo! x está en F.
• Sea x∈E\F=:G. Si G fuese cerrado, podríamos elegir una sucesión Xn∈B(x,1/n) de forma que la sucesión no estuviese contenida en G. Xn entonces pertenecería a F y además ||x-Xn||<1/n,tyes decir, Xn tiende a x.j.y por hipótesis x∈Fy. Luego G es abierto.
  

Definición: Sea Xn una sucesión en E. Si n1<in2o... es una sucesión infinita creciente de números naturales, a Xnk le llamaremos subsucesión de Xn.
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La última proposición de hoy: Si la sucesión Xn de E converge hacia x, cada subsucesión de Xn también.
Prueba:

Dado ε>0 existe n0∈N tal que si n>n0, d(Xn,x)<ε. Consideramos ahora Xnk subsucesión de Xn. Sea k0∈N tal que n0k>n0, entonces si k>k0 tenemos que d(Xnk,x)<ε.

Para acabar diremos que x∈E es un punto de aglomeración de la sucesión Xn si x es límite de alguna subsucesión de Xn.

Mañana y pasado a ver si sigo con esto y lo consigo poner al día, que se me está acumulando la tarea.

Topología en espacios métricos (2).

Hoy seguimos el tema que dejamos ayer. Comenzamos con el concepto de frontera.

La frontera de M, ∂M, es el conjunto formado por los puntos adherentes a M que no son interiores a M (los bordes del intervalo, vamos). El exterior de M es el interior de su complementario, que coincide con el complementario de M|. Por ejemplo, si consideramos el conjunto M=[0,1]∈R. M⁰=(0,1); M|=[0,1]; ∂M=[0,1]\(0,1)={0,1};
extM=(-∞,0)∪(1,+∞).

Definición: Sea M⊂(E,d). Si para cada r>0 el conjunto B(x,r)∩M tiene infinitos elementos se dice que x es un punto de acumulación de M y se escribe x∈M'.

Ejemplo: A={1/n: n∈N}, los puntos de A son 1,1/2,1/3... y tienden a 0. Los puntos de A no son puntos de acumulación, puesto que puedo encontrar un r tal que B(x,r)∩A={x}, es decir, bolas que únicamente contengan a un elemento de A (y eso es contrario a la definición de punto de acumulación. El único punto de acumulación es el 0, ya que a partir de un término se cumple que |1/n -0|<ε, y esto sólo se da cuando el número de términos es infinito. Es claro que M'⊂M|, pues si x es un punto de acumulación, evidentemente estará en el cierre de M, pues M| contiene a todos los x tal que B(x,r)∩M es distinto del vacío, no sólo a los que hagan que la intersección tenga un número infinito de elementos.

Veamos que M| \M'⊂M: Sea x∈M| \M'; x∉M. Existe r>0: B(x,r)∩M={x1,x2...xn} con x distinto de x1,x2...xn. Además puedo encontrar un ε>0: B(x,ε)∩{x1,x2...xn}=∅ (ya que x1,x2...xn es una cantidad finita de elementos). y como x no está en M, B(x,ε)∩M=∅ Llegamos entonces a que x∉M|. Contradicción. Luego M| \M'⊂M.

A los puntos de M| \M' se les denomina puntos aislados. x es un punto aislado de M si hay algún r>0 tal que B(x,r)∩M={x}. Se verifica que M|=M⁰∪∂M=M∪M', donde la primera unión es disjunta.

Proposición: Si M⊂(E,d), M es cerrado si y solo si M'⊂M.

Demostración:

• Primero veamos que si M es cerrado, M'⊂M. Sabemos que M|=M∪M', y como M es cerrado, M|=M, luego M∪M'=M, es decir, al añadir M' no estoy añadiendo nuevos puntos a M, luego M'⊂M.
• Probemos el recíproco. Como M'⊂M, M^c⊂(M')^c. M|∩M^c⊆M|∩M^'c=(M∪M')∩M^'c⊆M (esto se debe a que M|=M∪M'). Pero entonces M|∩M^c=∅. Pues los puntos de M^c no están en M. Y como M|∩M^c=∅, y esto quiere decir que no hay ningún punto de M| que esté en M^c, luego los puntos de M| estarán en M, esto es, M|=M.

La última definición de hoy: Una sucesión Xn en un e.m. (E,d) es convergente hacia x∈E y se escribe limXn=x, si para cada subconjunto abierto U en E conteniendo a x, existe n0 tal que Xk∈U para todo k≥n0. Es decir, como x∈U abierto, existe ε>0: B(x,ε)⊆U.
En este caso dicho punto x, necesariamente único, se dice que es el límite de la sucesión.

Esta definición es equivalente a la siguiente: Para todo ε>0 existe n0 tal que si k≥n0 Xk∈B(x,ε).

Demostremos la doble implicación:

• Está claro que si se da la primera definición se da la segunda, pues ya dijimos ayer que toda bola abierta es un conjunto abierto (la bola abierta es un caso particular de conjunto abierto). Probemos entonces que la segunda implica la primera.
• Como U es abierto hay una bola B(x,ε)⊂U, y por la definición, a partir de un momento todos los términos estás en la bola, y en particular, dentro de U.

Para espacios normados, si Xn es una sucesión de (E,||·||), Xn converge a x si y solo si la sucesión de números reales ||Xn-x||-->0 cuando n-->∞.

El asunto sigue mañana.