Conexión (2).

Teorema: Un e.m. E es conexo si y solo si los únicos subconjuntos de E que son a la vez abiertos y cerrados son ∅ y E. (falta demostración).

Sea ahora E un espacio normado. Si a, b∈E, el segmento que une a y b es el conjunto [a,b]={t·a+(1-t)·b : 0≤t≤1}.

Una poligonal que enlace a con b es la unión finita de segmentos [a,c1]∪[c1,c2]∪...∪[cn-1,b].

A partir de la conexión de los intervalos de R es fácil ver que una poligonal es un conjunto conexo. Un conjunto M⊂E se dice que es conexo por poligonales si cualesquiera de sus puntos pueden ser enlazados por una poligonal contenida en M. Puede comprobarse que todo conjunto conexo por poligonales es conexo, pero el recíproco es falso en general. Lo que sí que se puede demostrar es que en espacios normados todo conjunto abierto y conexo es conexo por poligonales.

Demostración:

• Sea S conjunto abierto y conexo en E y sea x∈S. Vamos a probar que x puede unirse con cualquier otro punto de S mediante una poligonal contenida en S.

• Sea A el subconjunto de S formado por los puntos que pueden unirse con x mediante una poligonal. Sea B=S\A. Entonces S=A∪B, con A y B disjuntos.

• Probaremos que A y B son abiertos en E. Sea a∈A y unamos a con x por medio de una poligonal. Como a∈S y S es abierto, existe B(a,r)⊂S para algún r>0. Si y∈B(a,r), [a,y]⊂B(a,r) y por tanto y puede unirse con x por medio de una poligonal (a la que une x y a le unimos el segmento [a,y]) lo cual implica que y∈A, es decir, B(a,r)⊂A, y por tanto A es abierto.

• Sea b∈B, y sea B(b,s)⊂S. Si un punto de B(b,s) puede unirse con x mediante una poligonal tendríamos que b también se podría unir con x, es decir, b pertenecería a A, pero como b no pertenece a A, tenemos que ningún punto de la bola se puede unir con x, es decir, B(b,s)⊂B. Luego B es abierto.

• Hemos obtenido una descomposición S=A∪B, de S formada por abiertos disjuntos. Pero A es no vacío ya que x∈A. Como S es conexo, B deberá ser vacío, con lo cual S=A.
  

• Pero es evidente que A es conexo por poligonales y que cualquier par de puntos de A pueden unirse por medio de una poligonal (uniendo ambos con x). Por consguiente S es conexo por poligonales.
  

Y sanseacabó.