lunes, 26 de octubre de 2009

Límites y continuidad

Allá vamos con un nuevo capítulo: Aplicaciones entre espacios métricos.

Y qué menos que comenzar con una definición:

Sean (E,d) y (F, ρ) e. m., M⊂E y a∈M' (a es un punto de acumulación de M que puede pertenecer o no a M).

Definición (importantiña): Una aplicación f: M-->F tiene límite b∈F cuando x tiende hacia a si para cada ε>0 existe un δ>0 tal que [para todo x∈M, con 0<id(x,ia)<iδ]ise tiene que ρi(f(x),b)i>ε. Esto se escribe así: lím f(x)=b (cuando x tiende a a).

También podemos expresar está definición en términos de topologías (ya que es lo que hemos estado estudiando): Para todo U entorno abierto de b existe V entorno reducido de a tal que f(V∩M)⊂U.

Vemos que en la definición de límite no interviene para nada el valor f(a) cuando a∈M.

Si a es un punto de acumulación de AM y f|A: A-->F tiene límite bA, cuando x tiende a a, se dice que bA es el límite de f(x) cuando x tiende a a a través del conjunto A.
Es claro que si existe el límite cuando x tiende a a en general, también existirá cuando x tiende a a a través de un conjunto determinado.

Y aunque parezca tonto, este concepto de límite a través de un conjunto es muy útil para decidir si un límite existe o no. Sólo hay que encontrar un conjunto AM con aA', a través del cual no exista el límite; o dos conjuntos A1,A2∈M con aA'1, aA'2, a través de los cuales existan y sean distintos los límites.
Por otro lado, para estudiar la existencia de un límite, hay que averiguar el candidato a límite, esto es, un punto b ∈F del que se pueda asegurar que si existe el límite vale b).

Definimos ahora el concepto de límites iterados, que consiste en el límite a través de rectas y el uso de coordenadas polares en el plano para el estudio de límites de funciones reales de dos variables.

Sea f: MR²-->R, con (0,0)∈M' y para cierto (x0,y0)∈M los conjuntos A={(x0,y): 0≤ y≤ y0}∪{(x,0): 0≤ x≤ x0} y B={(x,y0): 0≤ x≤ x0}∪{(0,y): 0≤ y≤ y0} cumplen A⊂M y B⊂M. Se definen los límites iterados en (0,0) (cuando existen) como:

límy->0 (límx->0 f(x,y) ) = λ1,2

límx->0 (límy->0 f(x,y) ) = λ2,1

En las condiciones de la definición anterior, si los límites son distintos entonces no existe lím(x,y)->(0,0) f(x,y).

Límites direccionales: Sea g: IR-->R, con 0 un punto de acumulación de I y límx->0 g(x)=0. Definimos el límite de f: MR²-->R a lo largo de g (cuando exista) como λg=límx->0 (x,g(x)).

Si encontramos dos funciones, g1 y g2, cumpliendo las condiciones de la definición anterior y tales que λg1, λg2 son distintos, entonces no existe el límite de f en (0,0). Es habitual tomar como función g rectas que pasan por el origen de coordenadas (y=x, y=x², x=y²,...).

Y por último, las polares: Sea f: R²-->R, l∈R. Consideremos la función que resulta de cambiar a coordenadas polares las variables en f, f*(θ,ρ)=f(ρcosθ,ρsenθ). Si |f*(θ,ρ)-l| ≤φ(ρ) con lím ρ->0 φ(ρ) =0 , entonces lím(x,y)->(0,0) f(x,y)=l .

A lo largo de esta semana iré poniendo más cosichuelas.


5 comentarios:

Noxbru dijo...

Ya me acuerdo de dar cosas de estas en Cálculo Diferencial... solo que lo hacíamos con bolas (no recuerdo si abiertas o cerradas) y claro, la definición de límite cambiaba un poco: si para cada epsilon > 0 existe un delta (que puede estar relacionado con epsilon) > 0, tal que x pertenezca a la bola con centro a y radio delta implica que f(x) pertenezca a la bola con centro b y radio epsilon, entonces existe el límite y es b.

De hecho, cuando he visto la definición (imporantiña) me ha extrañando no ver ninguna relación con b, o al menos de epsilon con algún punto y concluyendo que ese es el límite.

María dijo...

Gracias por decírmelo, se me cortó la definición, ahora ya está entera: El límite de f cuando x tiende hacia "a" es "b" si para cada ε>0 existe un δ>0 tal que si la distancia entre x y "a" es más pequeña que delta, entonces la distancia entre f(x) y b es más pequeña que ε.

Y sí, tienes razón, esto se suele dar con bolitas (benditas bolas), pero ahora estamos dejando un poco de lado las bolas y trabajamos con las distancias, ya que estamos con espacios métricos.

Vi que estabas en física. ¿En qué curso andas?

Salud!

Noxbru dijo...

De momento en segundo recién empezadito, a ver qué tal se da la cosa. Y esto lo dimos en 1º, 1er cuatrimestre: Cálculo diferencial, aunque supongo que dependerá de la universidad el curso en que lo estudies.

Por cierto, ¿en qué curso estás tú?

Buenos días :)

María dijo...

Yo también lo dí en ese cuatrimestre (análisis I). Y también empecé este año segundo (en Murcia), y con un poco de miedillo, que dicen todos que es el año más duro (y el más feo) :S .

Salud, Noxbru!

Noxbru dijo...

Sí, de momento por aquí (Zaragoza) también es bastante duro, a parte de que algunos profesores se explican bastante mal, y los archiconocidos informes de prácticas...

P.D. Si prefieres charlar por mail en vez de correo: brunojimen@gmail.com ;)

Suerte, María